函数定义

对于有限维（维度为 $n$）线性空间 $V$与 $V$上的一组基 $\xi,$
定义全体 $V$上的线性变换到全体元素属于数域 $P$的 $n \times n$矩阵的函数 $F$：
对于任意一个 $V$上的线性变换 $f,$对于任意一个元素属于数域 $P$的 $n \times n$矩阵 $A = \left ( \alpha_1, \cdots, \alpha_n \right ),$
$F(f) = A,$当且仅当：
$f(\xi) = f \left ({\xi}_1, \cdots, {\xi}_n \right ) = \left (f({\xi}_1), \cdots, f({\xi}_n) \right ) = \left (\xi \alpha_1, \cdots, \xi \alpha_n \right ) = \xi A$
其中 $f({\xi}_j) = \sum \limits_{i = 1}^n {a_{ij}} {\xi}_i = \xi \alpha_j$

性质

1. 由于 $\xi$是$V$上的一组基，因此对于任意一个 $f,$都存在一个 $A$满足条件，且是唯一的。
2. $A$的第 $j$列 $\alpha_j$就是 $f({\xi}_j)$在 $\xi$上的坐标。
3. 对于任意一个 $V$上的向量 $\alpha,$存在唯一的 $X \in P ^n,$使得 $\alpha = \xi X,$且
   $f(\alpha) = f(\xi X) = f(\sum \limits_{j = 1}^n {x_j} {\xi}_j)$
   $= \sum \limits_{j = 1}^n {x_j} f({\xi}_j) = f(\xi) X = \xi AX = \xi F(f) X$
4. $F$是单射，即：
   对于任意两个 $V$上的线性变换 $f$和 $g, F(f) = F(g) \Rightarrow f = g$
   证明
   对于任意一个 $V$上的向量 $\alpha,$存在唯一的 $X \in P ^n,$使得 $\alpha = \xi X,$则
   $$\left. \begin{array}{l} f(\alpha) = \xi F(f) X \\ g(\alpha) = \xi F(g) X \\ F(f) = F(g) \end{array} \right\} \Rightarrow f(\alpha) = g(\alpha)$$
5. $F$是满射，即：
   对于任意一个元素属于数域 $P$的 $n \times n$矩阵 $A,$存在 $V$上的一个线性变换 $f,$使得 $F(f) = A$
   证明
   定义函数 $f:$
   对于任意一个 $V$上的向量 $\alpha, f(\alpha) = \xi AX$当且仅当存在 $X \in P ^n,$使得 $\alpha = \xi X$。
   由于 $\xi$是$V$上的一组基，因此存在 $X \in P ^n$满足条件，且 $X$是唯一的。因此 $f$是一个函数。
   接下来证明 $f$是 $V$上的一个线性变换：
   $f\left (\alpha + \beta\right ) = f\left (\xi X + \xi Y\right ) = f\left (\xi \left (X + Y\right )\right ) = \xi A \left (X + Y\right ) = \xi A X + \xi A Y = f\left (\alpha\right ) + f\left (\beta\right )$
   $f\left (k \alpha\right ) = f\left (k \xi X\right ) = f\left (\xi \left (k X\right )\right ) = \xi A\left (k X\right ) = k \left (\xi AX\right ) = k f\left (\alpha\right )$
6. $F(f + g) = F(f) + F(g)$
   证明
   设 $F(f) = A = ( \alpha_1, \cdots, \alpha_n ), F(g) = B = ( \beta_1, \cdots, \beta_n ),$则
   $(f + g) ({\xi}_j) = f({\xi}_j) + g({\xi}_j) = \xi \alpha_j + \xi \beta_j$
   $= \xi (\alpha_j + \beta_j), j \in \mathbb N, 1 \le j \le n$。
7. $F(k f ) = k F(f)$
   证明
   设 $F(f) = A = ( \alpha_1, \cdots, \alpha_n ),$则
   $(kf) ({\xi}_j) =(\mathbf {k} f) ({\xi}_j) = \mathbf {k} (f({\xi}_j)) = k (f({\xi}_j)) = k(\xi \alpha_j) = \xi (k \alpha_j), j \in \mathbb N, 1 \le j \le n$
8. $F(f \circ g) = F(f) F(g)$
   证明
   设 $F(f) = A = ( \alpha_1, \cdots, \alpha_n ), F(g) = B = ( \beta_1, \cdots, \beta_n ),$则
   $(f \circ g) ({\xi}_j) = f(g({\xi}_j)) = f(\xi \beta_j) = \xi A \beta_j,$
   $j \in \mathbb N, 1 \le j \le n$
9. 若线性变换 $f$可逆，则 $F(f ^{-1}) = { \left ( F(f) \right )} ^{-1}$
   证明
   $F(f) F(f ^{-1}) = F(f \circ f ^ {-1}) = F( \mathbf {I}) = E$