排列组合中两两配对问题的分析

在等可能概型中，有一类问题是球放盒子问题，比如把m个球，放在n（n >=m ）个盒子中，计算各种情况的概率，这类问题难点在于排列组合的运算，下面按照从易到难的情况对这类问题进行分析：

1、每个盒子只能放一个球

计算每个盒子最多只能放一个球的概率，首先来看下这个问题的解题思路：
每个球可以放n个盒子，因此m个球的样本空间的样本个数N(S)=$n^m$
第一个球可以选n个位置
第二个球可以选n-1个位置
….
第m个球可选n-m+1个位置
N(A)=n*(n-1)…(n-m+1)=$P_n^m$
p(A)=$\frac{P_n^m}{n^m}$
这个问题很简单，不用多解释

2、每个盒子可以放多个球

如果把问题复杂化一点，每个盒子可以放多个球，要求所有的球放i个盒子的概率怎么计算呢，下面就来研究一下

为了便于问题分析，先把n和m具体化，并且设置小一点方便计算，就假设要求是共3个盒子，4个球，放在2个盒子中；这种情况下，就有两种分法，第一种是一个盒子放1个球，另一个放3球（1+3）；第二种是2+2，下面分别进行计算分析。

2.1 1+3的情况

先计算1+3的情况，首先在4个球中选1个就是$C_4^1$，这个球有3个盒子可选就是$C_3^1$，剩下的3个球选3个是$C_3^3$，有2个盒子可选是$C_2^1$
这种情况的N=$C_4^1{C}_3^1{C}_3^3{C}_2^1$，而且可以把$C_3^1{C}_2^1$组合起来就是$P_3^2$，这个怎么理解呢，其实就是有两组球，放在3个盒子中进行排列运算的结果；而$C_4^1{C}_3^3$就是4个球分成1+3两组的组合结果，根据运算公式得到最终的样本个数是24个，列个表格来验证一下结果：

如表格所示（1，234）的放置方法共有6种，而（2，134），（3，124），（4，123）四种分法也不会有重复，因此计算的结果24是正确的；

2.2 2+2的情况

下面来计算2+2的情况，按照前面的思路，N=$C_4^2{C}_3^1{C}_2^2{C}_2^1$，或者N=$C_4^2{C}_2^2{P}_3^2$=36，还是列一张表，来验证一下结果：

然而表格统计的结果只有18个，刚好是之前运算结果的一半，问题出在哪里？

首先看$P_3^2$，两组数，3个位置，并且有顺序，所以没有问题。
再来看下$C_4^2{C}_2^2$，按照理解应该是先从4个数种选2个，再从剩下的2个种选2个，集合是这样的{(12,34),(13,24),(14,23),(23,14),(24,13),(34,12)}，但是当把这个集合的数拿到盒子中做组合运算就会重复，因为(12,34)和(34,12)是等价的，实际的结果应该是{(12,34),(13,24),(14,23)}，这之间差的2倍实际上就是2个组的全排列$P_2^2$，注意这里的2是两个组的那个2，而不是每个组中2个数字的那个2；

由于两组数的个数相同，$C_4^2{C}_2^2$的计算方法暗含了一个根据组数进行的全排列，因此在运算时要把$P_2^2$除掉，再次强调这里的2是组的个数，最后得到的结果是：N=$\frac{C_4^2{C}_2^2}{P_2^2}{P}_3^2$ =18

最后汇总1+3和2+2的两种情况，分两组的样本个数为N=$C_3^1{C}_2^1{P}_3^2+\frac{C_4^2{C}_2^2}{P_2^2}{P}_3^2$，后面计算概率除以样本总数就不再赘述了。

3、一般情况

推广到更普遍的情况，n个组，每组k个数（所有数字不重复）的组合的总数为：
N=$\frac{{\prod }_{i=0}^{n-1}{C}_{nk-ik}^k}{P_n^n}$，（这个要用归纳法去证明，限于时间精力有限就不想证明了，结果应该是对的），而之前1+3的情况，1和3都只有一组，按照这个公式把$P_1^1$带进去也是正确的；

如果要在m个容器中进行放置，就再乘以$P_m^n$进行排列，如果要运算概率，就再除以N(S)=$m^{nk}$

另外网上看到很多人问两两组合的问题，比如6个数两两组合有多少情况，网上很多答案是$C_6^2$，结果15是对的，但是算法错了，应该是$\frac{C_6^2{C}_4^2{C}_2^2}{P_3^3}=15$

以上就是对于多个数进行k*n分组的情况下，计算排列组合以及概率的一些分享，希望能对大家有帮助。