复数的引入

• 可以很平凡而繁琐地，将复数作为一个数域引入。它是实数域加上虚数$i$的扩充域。
• 代数结构 即运算法则，注意乘法法则(a,b)(c,d)=(ac-bd,ad+bc)
• 几何结构 引入复平面，加入无穷远点成为$\overline{\mathbb C}$。
• 拓扑结构 或分析，刻画度量。即模和极限。

复数和复平面的刻画

$$\begin{cases} z=x+iy\\\bar z=x-iy \end{cases}$$
$$\begin{cases} x=\dfrac{z+\bar z}{2}\\ y=\dfrac{z-\bar z}{2i} \end{cases}$$
使用 $(x,y)$可能是因为习惯于使用实数；使用 $(z,\bar z)$更符合复数习惯，尤其是后面的解析函数特征就是用 $(z,\bar z)$的表达式中不含 $\bar z$，这比用 $(x,y)$的描述还需要用C-R关系加以限制要清晰得多。

用$z,\bar z$表示几何图形

这其实就是上述的复平面的刻画问题，直接用上面的变换式就可以得到结论

• 直线的一般方程
  $$Az+\bar A\bar z+C=0$$
• 圆的一般方程
  $$(z-c)\overline{(z-c)}=R^2$$

复数域的分析性质

这里主要是指分析上的一些基本概念和命题，包括

• 邻域
• 开集
• 闭集
• 极限点
• 内点
• 闭包
• 边界
• 孤立点
• 直径
• 区域

以及关于复数域拓扑和分析的几个定理，包括

• Chauchy准则（复数域完备性定理）
• 闭区间套定理
• 开覆盖定理
• 极限点原理
• Weierstrass-Bolzano定理
• 连通的等价条件

由于这些结论也都是平凡的，不是复变函数论研究的主题，因此忽略。

复函数

• 复函数这个概念的核心应该是值域为$\mathbb C$，至于定义域，一般是数集$\mathbb C$，当然也可以拓展到向量，到欧式空间，到$H,B$空间。

• 极限和连续

复变函数作为一门学科，和实变函数理论主要不同之处在于函数对复变量的可导性。（教材语）因此，在可导之前的内容，不需要过多着墨。

导数

对实变量的偏导

设

$$f(z)=f(x,y)=u(x,y)+iv(x,y)$$
如果 $u(x,y),v(x,y)$在 $z_0=(x_0,y_0)$处都存在关于 $x$的偏导数，那么定义$f$对 $x$的偏导为
$$\dfrac{\partial f}{\partial x}=\dfrac{\partial u}{\partial x}+i\dfrac{\partial v}{\partial x}$$
同理，
$$\dfrac{\partial f}{\partial y}=\dfrac{\partial u}{\partial y}+i\dfrac{\partial v}{\partial y}$$

利用$(x,y)$和$(z,\bar z)$的转换关系，可以得到对$z$和$\bar z$的形式偏导

$$\begin{cases} \dfrac{\partial }{\partial z}=\dfrac12\left(\dfrac{\partial }{\partial x}-i\dfrac{\partial }{\partial y}\right)\\ \dfrac{\partial }{\partial \bar z}=\dfrac12\left(\dfrac{\partial }{\partial x}+i\dfrac{\partial }{\partial y}\right) \end{cases}$$

对复变量的导数

如果极限

$$\lim_{z\to z_0}\dfrac{f(z)-f(z_0)}{z\to z_0}=A,A\in\mathbb C$$
存在，则称 $f(z)$在 $z_0$处可导， $A$称为$f(z)$在 $z_0$处的导数，记作 $f'(z_0)$.

微分

如果存在$A\in\mathbb C$，在点$z_0$处有

$$f(z)=f(z_0)+A(z-z_0)+\omicron(|z-z_0|)$$
那么称 $f$在$z_0$处可微。

• 复变函数可导等价于可微。

解析函数

定义

• 若$f(z)$在点$z_0$的邻域内都可导，那么$f(z)$在$z_0$点解析；
• 若$f(z)$在区域$\Omega$内每一点都可导，那么$f(z)$在区域$\Omega$内解析，是$\Omega$内的解析函数。

• Cauchy-Riemann方程
  

  $$\begin{cases} \dfrac{\partial u}{\partial x}=\dfrac{\partial v}{\partial y}\\ \dfrac{\partial u}{\partial y}=-\dfrac{\partial v}{\partial x} \end{cases}$$

• 定理 解析函数满足Cauchy-Riemann方程

  $f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$，从实轴和虚轴两个方向求极限，可得。

• 方法 证明一个复变函数在某一点不可导（从而不解析）

  用实变量描述，证明从不同方向逼近得到的极限不同。

• 命题 实值函数在区域上解析，一定是常数。

  1. 利用上面的办法，用实变量描述，证明从实轴和虚轴两个方向逼近得到的极限一个是实数一个是虚数，从而导数为$0$，从而是常数。
  2. 或用Cauchy-Riemann方程证明。

• 命题 解析函数如果存在反函数，那么反函数也是解析函数。

• 命题 如果两个实函数$u,v$满足C-R方程，那么$f=u+iv$解析。

• 命题 如果$f=u+iv$关于$u,v$二阶连续可导，且$f$解析，那么$f'$也解析。

  $$f'(z)=\dfrac{\partial u}{\partial x}+i\dfrac{\partial v}{\partial x}(极限的唯一性)$$

• 命题 解析函数$f=u+iv$满足
  

  $$\begin{cases} \dfrac{\partial ^2u}{\partial x^2}+\dfrac{\partial ^2u}{\partial y^2}=0\\\dfrac{\partial ^2v}{\partial x^2}+\dfrac{\partial ^2v}{\partial y^2}=0 \end{cases}$$
  或
  $$\begin{cases} \nabla^2u=0\\\nabla^2v=0 \end{cases}$$
  即解析函数的两个实函数都是调和函数，并且是共轭的。

• 命题 单连通区域$\Omega$上调和函数唯一地确定另一个共轭的调和函数。（不考虑常数）

• 命题
  

  $$\nabla^2=\dfrac{\partial ^2}{\partial x^2}+\dfrac{\partial ^2}{\partial y^2}=4\dfrac{\partial^2}{\partial z\partial \bar z}$$

• 定理 解析函数的充要条件
  

  $$\dfrac{\partial f}{\partial \bar z}=0$$

• 定理 单连通区域$\Omega$上的解析函数处处不为零，且关于实变量$x$和$y$二阶连续可导，则存在$\Omega$上解析函数$g(z)$，使得

  $$e^{g(z)}=f(z)$$

• 定理 单连通区域$\Omega$上的解析函数处处不为零，且关于实变量$x$和$y$二阶连续可导，则存在$\Omega$上解析函数$g(z)$，对任意的自然数$n$，有使得

  $$g(z)^n=f(z)$$

• 定理 （导数的几何意义）导数$|f'(z_0)|^2$是映射$w=f(z)$关于对应区域的面积比，即映射的Jacobi行列式。

  用C-R关系证明。

• 推论 解析函数导函数处处连续，如果在$z_0$处导数不为$0$，则存在 $z_0$的一个邻域$D$，满足：(1)$f(D)$是开集；(2)$f:D\to f(D)$是一一映射；(3)$f^{-1}:f(D)\to D$在$f(D)$上解析，且
  

  $$(f^{-1})'(w)=\dfrac1{f'(z)},w=f(z)$$
  这个推论的应用：如果$f$将一个区域映射到一条曲线上，那么$f$一定是常数函数。