柯西不等式证明
柯西不等式，是形式如下的不等式
( ∑ a i 2 ) ( ∑ b i 2 ) ≥ ( ∑ a i b i ) 2 (\sum a_i^2)(\sum b_i^2)\ge(\sum a_i b_i)^2(∑ai2)(∑bi2)≥(∑aibi)2
这里来讲一下最简单的证明方式——利用二次函数
先构造这样一个二次函数
1 ) f ( x ) = ∑ ( a i x + b i ) 2 1)\ f(x)=\sum (a_ix+b_i)^21) f(x)=∑(aix+bi)2
然后拆开，合并同类项，得
2 ) f ( x ) = ( ∑ a i ) x 2 + 2 ( ∑ a i b i ) x + ( ∑ b i 2 ) 2)\ f(x)=(\sum a_i)x^2+2(\sum a_ib_i)x+(\sum b_i^2)2) f(x)=(∑ai)x2+2(∑aibi)x+(∑bi2)
由 1 ) 1)1) 得f ( x ) ≥ 0 f(x)\ge0f(x)≥0
所以Δ ≤ 0 \Delta\le0Δ≤0
又因为Δ = b 2 − 4 a c = 4 ( ∑ a i b i ) − 4 ( ∑ a i ) ( ∑ b i ) \Delta=b^2-4ac=4(\sum a_ib_i)-4(\sum a_i)(\sum b_i)Δ=b2−4ac=4(∑aibi)−4(∑ai)(∑bi)
所以可得
4 ( ∑ a i b i ) − 4 ( ∑ a i ) ( ∑ b i ) ≤ 0 4(\sum a_ib_i)-4(\sum a_i)(\sum b_i)\le04(∑aibi)−4(∑ai)(∑bi)≤0
化简得：
( ∑ a i 2 ) ( ∑ b i 2 ) ≥ ( ∑ a i b i ) 2 (\sum a_i^2)(\sum b_i^2)\ge(\sum a_i b_i)^2(∑ai2)(∑bi2)≥(∑aibi)2
Q . E . D Q.E.DQ.E.D