摘要

本篇文章主要描述在设计固定时间控制器时，所采用的一些引理。

主要结果

稳定性定义

考虑如下非线性自治系统
$$\dot{x}=f(x),x(0)=x_0$$其中$x\in {\mathbb{R}}^n$表示状态；$f:\mathbb{D}\to {\mathbb{R}}^n$表示在原点的开邻域$\mathbb{D}$内的上半连续映射。$\forall x\in \mathbb{D}$, $f(x)$非空，并且$\forall t>0$, $f(0)=0$.
定义1：对于非线性系统在原点的均衡点有以下几类情况。

1. 李雅普诺夫稳定：如果$\forall \epsilon >0$, $\exists \delta =\delta (\epsilon )>0$使得当$\forall \Vert x_0\Vert <0$, 则$\Vert x(t,x_0)\Vert <\epsilon$, $\forall t>0$.
2. 局部渐近稳定：如果它是稳定的，并且$\exists \delta$使得$\forall \Vert x_0\Vert <\delta$, 则${\lim }_{t\to +\infty }\Vert x(t)\Vert =0$.
3. 全局渐近稳定：如果它是稳定的，并且$\forall x_0\in \mathbb{R}$, ${\lim }_{t\to +\infty }\Vert x_0\Vert =0$.
4. 不稳定：非稳定的。

定义2：对于上述非线性系统，当且仅当原点是一个李雅普诺夫意义下稳定的，并且存在一个关于原点的开邻域$\mathbb{S}\subset \mathbb{D}$和一个正函数$T(x_0)={\sup }_{x(t,x_0)}\inf \{T\ge 0;x(t,x_0)=0,\forall t\ge T,x_0\in \mathbb{S}\}$（被称为稳定时间函数）使得$\forall x(0)\in \mathbb{S}\backslash \{0\}$, $T(x_0)<+\infty$, 则该点称为有限时间稳定均衡点。进一步，当$\mathbb{S}=\mathbb{R}$, 则该点是全局有限时间稳定的。
注：有限时间稳定也是渐近稳定。

定义3：对于上述非线性系统，如果原点是全局有限时间稳定的，并且$T(x_0)$是有界的，即存在一个实数$T_{\max }>0$使得$T(x_0)\le T_{\max }$, $\forall x_0\in \mathbb{R}$.

固定时间稳定定理

定理1：假设存在一个连续可微的正定函数$V(x):\mathbb{D}\to \mathcal{R}$，使得对于任意的正实数$c>0$以及$\alpha \in (0,1)$，如下不等式成立
$$\dot{V}(x)+c{V}^{\alpha }(x)\le 0,\forall x\in \mathbb{S}\backslash \{0\}$$则对于上述非线性系统来说，是有限时间稳定的。 稳定时间函数为
$$T(x_0)\le \frac{1}{c(1-\alpha )}{V}^{1-\alpha }(x_0)$$进一步，如果$\mathbb{S}=\mathbb{D}=\mathbb{R}$, $V$是径向无界的，并且$\dot{V}<0$, $\forall x\in \mathbb{R}\backslash \{0\}$, 则该点是全局有限时间稳定的。
证明：
由于$$\frac{dV}{dt}\le -c{V}^{\alpha }$$则$$\frac{dV}{V^{\alpha }}\le -cdt$$两边同时积分，可得$$\frac{V^{1-\alpha }(x)}{1-\alpha }{|}_{x_0}^0\le -cT(x_0).$$因此$$\frac{1}{c(1-\alpha )}{V}^{1-\alpha }(x_0)\ge T(x_0).$$得证$♠$

定理2:考虑如下非线性系统$$\dot{x}(t)=-\alpha x^{2-\frac{p}{q}}(t)-\beta x^{\frac{p}{q}}(t),x(0)=x_0$$其中$\alpha ,\beta >0$, $p,q$满足$q>p>0$是奇数。则该非线性系统是固定时间稳定的，并且稳定时间为
$$T(x_0)\le T_{\max }:=\frac{q\pi }{2\sqrt{\alpha \beta }(q-p)}.$$证明：令李雅普诺夫函数为$V(x)=x^2\ge 0$. 对$V$关于时间求微分可得
$$\begin{array}{rl}\dot{V}=& 2x(-\alpha x^{2-\frac{p}{q}}-\beta x^{\frac{p}{q}})\\ =& -2\alpha (x^2{)}^{\frac{3q-p}{2q}}-2\beta (x^2{)}^{\frac{p+q}{2q}}\\ =& -2(\alpha V^{\frac{q-p}{q}}+\beta )V^{\frac{p+q}{2q}}\end{array}$$
由于$\alpha V^{\frac{q-p}{q}}>0$，则$\dot{V}\le -2\beta V^{\frac{p+q}{2q}}$。另外，由于$0<\frac{p+q}{2q}<1$，则系统是有限时间稳定的。当$V\ne 0$, 则
$$\frac{1}{V^{\frac{p+q}{2q}}}\frac{dV}{dt}=-2(\alpha V^{\frac{q-p}{q}}+\beta )$$化简可得
$$\frac{q}{q-p}\frac{d{V}^{\frac{q-p}{2q}}}{dt}=-(\alpha V^{\frac{q-p}{q}}+\beta )$$令$z=V^{\frac{q-p}{2q}}$，则
$$\frac{1}{\alpha z^2+\beta }dz=-\frac{q-p}{q}dt$$两边同时积分，可得
$$\frac{1}{\sqrt{\alpha \beta }}\arctan (\sqrt{\frac{\alpha }{\beta }}z(t))=\frac{1}{\sqrt{\alpha \beta }}\arctan (\sqrt{\frac{\alpha }{\beta }}z(0))-\frac{q-p}{q}t$$由于$\arctan (z)=0$当且仅当$z=0$，即$V=0$。可得
$$\underset{t\to T(x_0)}{\lim }V=0$$其中
$$\begin{array}{rl}T(x_0)=& \frac{q}{q-p}\frac{1}{\sqrt{\alpha \beta }}\arctan (\sqrt{\frac{\alpha }{\beta }}z(0))\\ =& \frac{q}{q-p}\frac{1}{\sqrt{\alpha \beta }}\arctan (\sqrt{\frac{\alpha }{\beta }}{x}_0^{\frac{q-p}{q}})\end{array}$$显而易见，$T(x_0)$是有界的。
$$\underset{x_0\to +\infty }{\lim }T(x_0)=\frac{q\pi }{2\sqrt{\alpha \beta }(q-p)}$$注意到$V(x)=0$则$x=0$。得证$♠$

定理3：考虑如下标量系统
$$\dot{x}(t)=-\alpha x^{\frac{m}{n}}(t)-\beta x^{\frac{p}{q}}(t)$$其中$\alpha$, $\beta >0$，$m,n,p,q$都是奇数满足$m>n>0$, $q>p>0$。则该系统是固定时间稳定的，稳定时间为
$$T(x_0)<T_{\max }:=\frac{1}{\alpha }\frac{n}{m-n}+\frac{1}{\beta }\frac{q}{q-p}$$进一步，如果$\epsilon =\frac{q(m-n)}{n(q-p)}\le 1$，则稳定时间为
$$T(x_0)<T_{\max }:=\frac{q}{q-p}(\frac{1}{\sqrt{\alpha \beta }}\arctan \sqrt{\frac{\alpha }{\beta }}+\frac{1}{\alpha \epsilon })$$
证明：令李雅普诺夫函数为$V=x^2$。对李雅普诺夫函数进行微分，可得
$$\begin{array}{rl}\dot{V}=& 2x(-\alpha x^{\frac{m}{n}}-\beta x^{\frac{p}{q}})\\ =& -2\alpha (x^2{)}^{\frac{m+n}{2n}}-2\beta (x^2{)}^{\frac{p+q}{2q}}\\ =& -2(\alpha V^{\frac{m+n}{2n}-\frac{p+q}{2q}}+\beta )V^{\frac{p+q}{2q}}\end{array}$$由于$\alpha V^{\frac{m+n}{2n}-\frac{p+q}{2q}}>0$，则$\dot{V}\le -2\beta V^{\frac{p+q}{2q}}$。显而易见，$0<\frac{p+q}{2q}<1$，因此，该系统是有限时间稳定的。假设$V\ne 0$，则$$\frac{1}{V^{\frac{p+q}{2q}}}\frac{dV}{dt}=-2(\alpha V^{\frac{m+n}{2n}-\frac{p+q}{q}}+\beta )$$可得$$\frac{q}{q-p}\frac{d{V}^{\frac{q-p}{2q}}}{dt}=-(\alpha V^{\frac{m+n}{2n}-\frac{p+q}{p}}+\beta )$$令$z=V^{\frac{q-p}{2q}}$，则
$$\frac{1}{\alpha z^{1+\epsilon }+\beta }dz=-\frac{q-p}{q}dt$$其中$\epsilon =\frac{q(m-n)}{n(q-p)}$。令$\phi (z)={\int }_0^z\frac{1}{\alpha z^{1+\epsilon }+\beta }dz$，两边同时进行积分，可得
$$\phi (z(t))=\phi (z(0))-\frac{q-p}{q}t$$由于$\phi (z)$是单调递增的函数。另外，$\phi (z)=0$当且仅当$z=0$，可得
$$\underset{t\to T(x_0)}{\lim }V=0$$其中
$$T(x_0)=\frac{q}{q-p}\phi (z(0))=\frac{q}{q-p}\phi (x^{\frac{q-p}{q}}(0)).$$显而易见，$T(x_0)$是有界的。
$$\begin{array}{rl}\underset{x_0\to +\infty }{\lim }T(x_0)=& \underset{z_0\to +\infty }{\lim }\frac{q}{q-p}\phi (z(0))\\ =& \frac{q}{q-p}({\int }_0^1\frac{1}{\alpha z^{1+\epsilon }+\beta }dz+{\int }_1^{+\infty }\frac{1}{\alpha z^{1+\epsilon }+\beta }dz)\\ \le & \frac{q}{q-p}({\int }_0^1\frac{1}{\beta }dz+{\int }_1^{+\infty }\frac{1}{\alpha z^{1+\epsilon }}dz)\\ =& \frac{q}{q-p}(\frac{1}{\beta }+\frac{1}{\alpha \epsilon })\\ =& \frac{1}{\alpha }\frac{n}{m-n}+\frac{1}{\beta }\frac{q}{q-p}\end{array}$$注意到$V(x(t))=0$当且仅当$x(t)=0$.
另外，当$0<\epsilon <1$时，可得
$$\begin{array}{rl}\underset{x_0\to +\infty }{\lim }T(x_0)=& \frac{q}{q-p}({\int }_0^1\frac{1}{\alpha z^{1+\epsilon }+\beta }dz+{\int }_1^{+\infty }\frac{1}{\alpha z^{1+\epsilon }+\beta }dz)\\ <& \frac{q}{q-p}({\int }_0^1\frac{1}{\alpha z^2+\beta }dz+{\int }_1^{+\infty }\frac{1}{\alpha z^{1+\epsilon }}dz)\\ =& \frac{q}{q-p}(\frac{1}{\sqrt{\alpha \beta }}\arctan \sqrt{\frac{\alpha }{\beta }}+\frac{1}{\alpha \epsilon })\end{array}$$得证$♠$
定义李雅普诺夫函数$\varpi (t)$的右极限形式为
$$D^{\ast }\varpi (t)=\underset{h\to 0^{+}}{\lim }\frac{\varpi (t+h)-\varpi (t)}{t}$$考虑非线性自治系统
$$\dot{x}=f(x),x(0)=x_0$$则有如下定理。
定理4：假设存在一个连续正定和径向无界函数$V(x):\mathbb{R}\to {\mathcal{R}}^{+}\cup \{0\}$使得
$$D^{\ast }V(x(t))\le -(\alpha V^p(x(t))+\beta V^q(x(t)){)}^k$$对于$\alpha ,\beta ,p,q,k$满足$pk<1$以及$qk>1$，则非自治系统是固定时间稳定的，并且稳定时间为
$$T(x_0)\le T_{\max }:=\frac{1}{{\alpha }^k(1-pk)}+\frac{1}{{\beta }^k(qk-1)}$$
证明根据李雅普诺夫函数可得
$$D^{\ast }V(x(t))\le -{\alpha }^k{V}^{pk}(x(t)),\forall V(x(t))\le 1$$和$$D^{\ast }V(x(t))\le -{\beta }^k{V}^{qk}(x(t)),\forall V(x(t))>1$$因此，对于$V(x_0)>1$的情况，第二个不等式保证了在$t\ge \frac{1}{{\beta }^k(qk-1)}$时间内使得$V(x(t))\le 1$。对于$V(x(t))<1$的情况，第一个不等式保证在$t\ge t_0+\frac{1}{{\alpha }^k(1-pk)}$的时间内，系统收敛到原点。
因此，对于$V(x_0)$的任意自变量$x_0$，当
$$t\ge T_{\max }=\frac{1}{{\alpha }^k(1-pk)}+\frac{1}{{\beta }^k(qk-1)}$$系统收敛至原点。证毕$♠$
定理5假设存在连续正的并且径向无界的李雅普诺夫函数$V(x):\mathbb{R}\to \mathcal{R}\cup \{0\}$使得
$$D^{\ast }V(x(t))\le -\alpha V^p(x(t))-\beta V^q(x(t))$$其中$\alpha ,\beta >0$, $p=1-\frac{1}{\mu }$, $q=1+\frac{1}{\mu }$, $\mu >1$。则非线性系统是固定时间收敛的，收敛时间为
$$T(x_0)\le T_{\max }:=\frac{\pi \mu }{2\sqrt{\alpha \beta }}$$
证明：构造如下的辅助微分方程
$$\dot{y}=-\alpha y^{1-\frac{1}{\mu }}-\beta y^{1+\frac{1}{\mu }},y_0=y(0)\ge 0$$其中$\alpha ,\beta >0$, $\mu >1$. 显而易见，$y=0$是上述辅助方程的平衡点。因此，
$$t=-{\int }_{y_0}^y\frac{1}{\alpha y^{1-\frac{1}{\mu }}+\beta y^{1+\frac{1}{\mu }}}dy$$令$z=y^{\frac{1}{\mu }}$，可得
$$\begin{array}{rl}t=& -\mu {\int }_{z_0}^z\frac{z^{\mu -1}}{\alpha z^{\mu -1}+\beta z^{\mu +1}}dz\\ =& -\mu {\int }_{z_0}^z\frac{1}{\alpha +\beta z^2}dz\end{array}$$因此
$$\frac{\mu }{\sqrt{\alpha \beta }}\arctan (\sqrt{\frac{\alpha }{\beta }}{y}^{\frac{1}{\mu }}(t))=-t+\frac{\mu }{\sqrt{\alpha \beta }}\arctan (\sqrt{\frac{\alpha }{\beta }}{y}_0^{\frac{1}{\mu }})$$综上所述，当$t\ge T(y_0):=\frac{\mu }{\sqrt{\alpha \beta }}\arctan (\sqrt{\frac{\alpha }{\beta }}{y}_0^{\frac{1}{\mu }})$，则$y(t)=0$。因此$T_{\max }=\frac{\pi \mu }{2\sqrt{\alpha \beta }}$。证毕$♠$

结论

接下来，将给出一些控制器的设计，使系统实现有限时间收敛。