前缀和-AcWing 99-激光炸弹

前缀和-AcWing 99-激光炸弹

题目：
一种新型的激光炸弹，可以摧毁一个边长为 R 的正方形内的所有的目标。

现在地图上有 N 个目标，用整数Xi,Yi表示目标在地图上的位置，每个目标都有一个价值Wi。

激光炸弹的投放是通过卫星定位的，但其有一个缺点，就是其爆炸范围，即那个边长为 R 的正方形的边必须和x，y轴平行。

若目标位于爆破正方形的边上，该目标不会被摧毁。

求一颗炸弹最多能炸掉地图上总价值为多少的目标。

输入格式
第一行输入正整数 N 和 R ,分别代表地图上的目标数目和正方形的边长，数据用空格隔开。

接下来N行，每行输入一组数据，每组数据包括三个整数Xi,Yi,Wi,分别代表目标的x坐标，y坐标和价值，数据用空格隔开。

输出格式
输出一个正整数，代表一颗炸弹最多能炸掉地图上目标的总价值数目。

数据范围
0≤R≤10⁹
0<N≤10000,
0≤Xi,Yi≤5000
0≤Wi≤1000
输入样例：
2 1
0 0 1
1 1 1
输出样例：
1

题意：
$在一个点阵中有N个目标，一个炸弹可以摧毁的区域是边长为R的正方形。$
$输入目标数量N，正方形边长R。$
$输入N个目标的坐标X_i,Y_i,以及它们的价值W_i。$
$输出一个炸弹可摧毁的最大价值。$

题解：
$$\begin{gathered} 点阵中，长度为R的线段最多可以包含R+1个点，但由于边界的点是炸不到的， \\ 所以边长为R的正方形最多可以包含的点的个数是R\times R。 \end{gathered}$$

$问题可以转化为求R\times R的二维矩阵和的最大值。$

$采用二位前缀和来处理。$

$前缀和公式:sum[i][j]=sum[i-1][j]+sum[i][j-1]-sum[i-1][j-1]+A[i][j]$

$对于R\times R的矩阵，设矩阵的右下顶点为i,j,则左上顶点为i-R+1和j-R+1。$

$点(i-R+1,j-R+1)和点(i,j)构成的边长为R的矩阵前缀和为:sum[i][j]-sum[i-R][j]-sum[i][j-R]+sum[i-R][j-R]，求其最大值即可。$

$$\begin{gathered} 由上式可得，i-R>=0即i>=R，j-R>=0,j>=R。i和j的最小值为R， \\ 并且根据数据范围可知，当R>=5001时都可以包含整个点阵。所以R取min(5001,R)。 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} 另外，由于原数组A在求完前缀和数组sum以后就不再使用，所以考虑使用一个数组优化空间。 \\ 则sum[i][j]+=sum[i-1][j]+sum[i][j-1]-sum[i-1][j-1]。 \end{gathered}$$

代码：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
const int maxn=5e3+5;
int N,R;
int n,m;//矩阵的行列边界
int sum[maxn][maxn];
int main()
{
    cin>>N>>R;
    n=m=R;///n>=R

    for(int i=0;i<N;i++)
    {
        int x,y,w;
        scanf("%d%d%d",&x,&y,&w);
        x++,y++;
        n=max(n,x),m=max(m,y);
        sum[x][y]+=w;
    }

    for(int i=1;i<=n;i++)//前缀和
        for(int j=1;j<=m;j++)
            sum[i][j]+=sum[i-1][j]+sum[i][j-1]-sum[i-1][j-1];

    int ans=0;
    for(int i=R;i<=n;i++)
        for(int j=R;j<=m;j++)
            ans=max(ans,sum[i][j]-sum[i-R][j]-sum[i][j-R]+sum[i-R][j-R]);

    printf("%d\n",ans);

    return 0;
}