向量基础知识 – 源码巴士

向量表示：

一 个 向 量 记 为 : a ⃗ = A B - \to - ； 向 量 的 长 度 称 为 馍, 也 叫 做 向 量 的 范 数 ， 记 做 : | a ⃗ |

$一个向量记为:\vec a = \overrightarrow{ AB}；\\向量的长度称为馍,也叫做向量的范数，记做: \left|\vec a\right|$

设a=（x,y）,b=(x’,y’).

一、向量的加法

向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则.

A B + B C = A C . a + b = (x + x', y + y') . a + 0 = 0 + a = a .

$AB+BC=AC. 　　a+b=(x+x',y+y'). 　　a+0=0+a=a.$
向量加法的运算律：
交换律；结合律:

a + b = b + a ； (a + b) + c = a + (b + c) .

$a+b=b+a；　(a+b)+c=a+(b+c).$

二、向量的减法

如果a、b是互为相反的向量,那么a=-b,b=-a,a+b=0.
0的反向量为0
AB-AC=CB.即“共同起点,指向被减”
a=(x,y) b=(x',y') 则 a-b=(x-x',y-y')

三、数乘向量

1.实数λ和向量a的乘积是一个向量,记作λa,且∣λa∣=∣λ∣·∣a∣

当λ＞0时,λa与a同方向；
当λ＜0时,λa与a反方向；
当λ=0时,λa=0,方向任意.
当a=0时,对于任意实数λ,都有λa=0.
注：按定义知,如果λa=0,那么λ=0或a=0.

2.实数λ叫做向量a的系数,乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩.

当∣λ∣＞1时,表示向量a的有向线段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）上伸长为原来的∣λ∣倍；
当∣λ∣＜1时,表示向量a的有向线段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）上缩短为原来的∣λ∣倍.

数与向量的乘法满足下面的运算律

结合律： $(λ a) \cdot b = λ (a \cdot b) = (a \cdot λ b)$ $(λa)·b=λ(a·b)=(a·λb)$
向量对于数的分配律（第一分配律）： $(λ + μ) a = λ a + μ a$ $(λ+μ)a=λa+μa$
数对于向量的分配律（第二分配律）： $λ (a + b) = λ a + λ b$ $λ(a+b)=λa+λb$
数乘向量的消去律： $① 如果实数 λ \neq 0 且 λ a = λ b, 那么 a = b ② 如果 a \neq 0 且 λ a = μ a, 那么 λ = μ$ $① 如果实数λ≠0且λa=λb,那么a=b \\② 如果a≠0且λa=μa,那么λ=μ$

四、向量的数量积

向量积可以被定义为：

定义：两个非零向量的夹角记为〈a,b〉,且〈a,b〉∈[0,π].
定义：两个向量的数量积（内积、点积）是一个数量,记作a·b.
若a、b不共线,则

a \cdot b = | a | \cdot | b | \cdot c o s ⟨ a, b ⟩

$a·b=|a|·|b|·cos〈a,b〉$
若a、b共线,则

a \cdot b = + - ∣ a ∣ ∣ b ∣

$a·b=+-∣a∣∣b∣$
向量的数量积的坐标表示：

a \cdot b = x \cdot x' + y \cdot y'

$a·b=x·x'+y·y'$ .

向量的数量积的运算率

交 换 率 : a \cdot b = b \cdot a

$交换率: a·b=b·a$

分 配 率 : （ a + b) \cdot c = a \cdot c + b \cdot c

$分配率:（a+b)·c=a·c+b·c$
向量的数量积的性质

a \cdot a = | a | 2 .

$a·a=|a|^2.$

若 a ⊥ b ⟨ = ⟩ a \cdot b = 0

$若 a⊥b 〈=〉a·b=0$

| a \cdot b | \leq | a | \cdot | b |

$|a·b|≤|a|·|b|$
坐标运算：

向量的数量积与实数运算的主要不同点
1、向量的数量积不满足结合律,即：(a·b)·c≠a·(b·c)；例如：

(a \cdot b) 2 \neq a 2 \cdot b 2

$(a·b)^2≠a^2·b^2$
2、向量的数量积不满足消去律,即：由 a·b=a·c (a≠0),推不出 b=c.
3、|a·b|≠|a|·|b|
4、由 |a|=|b| ,推不出 a=b或a=-b.
5、平行向量问题：

若 a ⃗ | | (平 行 符 号) b ⃗ 则 a ⃗ = λ b ⃗ 此 时 若 a ⃗ = (x 1, y 1), b ⃗ = (x 2, y 2); 则 x 1 = λ x 2; y 1 = λ y 2; 得 出 : x 1 x 2 = y 1 y 2 = λ; 由 此 推 出 ： x 1 * y 2 = y 1 * x 2 * * 就 是 两 个 平 行 的 向 量 坐 标 交 叉 相 乘 值 相 等 * *

$若\vec a ||(平行符号) \vec b 则 \vec a = \lambda \vec b \\ 此时若 \vec a = (x_1,y_1),\vec b =(x_2,y_2) ;则x_1=\lambda x_2 ;y_1 = \lambda y_2;\\ 得出:\frac{x_1}{x_2} = \frac{y_1}{y_2} = \lambda ;\\由此推出：x_1*y_2 = y_1*x_2\\ **就是两个平行的向量坐标交叉相乘值相等**$

通过向量坐标的馍运算

这里写图片描述

垂直的情况
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向量的夹角：
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向量的投影：
由于 $\vec a · \vec b = |\vec a||\vec b|cos\alpha$ ，投影为： $|\vec a|cos\alpha = \frac {\vec a · \vec b}{|\vec b|}$ 其中 $|\vec a|cos\alpha$ 为向量 $\vec a$ 在向量 $\vec b$ 上的投影
这里写图片描述

点到平面的距离：
最基本的公式：设AB,AC是两个向量,则 $\frac{|AB*AC|}{|AB|}$ （这里*表示点乘,或是内积）表示向量AC在方向AB上投影的长度
先说点到直线的距离.
在直线L上取两点A,B,设C为直线外一点,设C到AB的距离为d,CA在直线L上投影的长度为h,那么由勾股定理, $h^2 + d^2 = |AC|^2$ ,再把 $h = \frac{|AB*AC|}{|AB|}$ 代入即可
再说点到平面的距离,关键是要知道平面的法向量：
设平面方程为 $Ax + By + Cz + D = 0$ ,则法向量 $\vec n = (A,B,C)$
设P为平面上的一点,Q为平面外的一点,那么Q到平面的距离就是向量PQ在法向量n方向上的投影,即 $\frac {|n * PQ| }{ |n|}$
对于平面到平面的距离,首先两个平面要平行才有距离（只用看法向量是不是平行就可以了）,如果两个平面平行,在其中一个平面上任取一个点,求这一点到另一个平面的距离就是两个平面的距离.
对于直线到平面的距离,首先直线与平面平行才有距离（只要平面的法向量与直线的方向向量垂直就可以了）,如果平行,在直线上任取一点,求这一点到另一个平面的距离就是直线到平面的距离.
注意到,在建立了坐标系的情况下,向量的内积、求模长、判断平行与垂直就是有公式给出的,所以以上的讨论基本解决了用空间向量求距离的问题

参考链接：

图片来自：乐学堂【高中数学】平面向量 ——-侵权就删

原文链接：https://blog.csdn.net/u010700066/article/details/80931451