不相交的并和积

之前学过的那些集合操作的问题是并不是被定义成一个集合，而是一个到$uptoisomorphismsofsets$（至多是集合的同构），也就是双射（$bijections$）。为了能有更大的意义，我们必须讨论$functions$。

一般来说，两个集合$S$和$T$的$disjointunion$得到一个集合$S\coprod T$，通过生成集合$S$和$T$的副本$S^{\prime }$和$T^{\prime }$，它们具有这样的属性：$S^{\prime }\cap T^{\prime }=\varnothing$，然后取$S^{\prime }$和$T^{\prime }$的并。细心的读者会发现这个步骤并没有定义一个集合：不论集合的拷贝什么含义，有很多方式可以这么做。

令$S\times T$ 是集合$S$和$T$中元素的有序对$(s,t)$构成的集合：$$S\times T:=\{(s,t)suchthats\in S,t\in T\}$$如果$S=\{1,2,3\}$并且$T=\{3,4\}$，那么$$S\times T=\{(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,3),(3,4)\}$$举一个更复杂的例子，$\mathbb{R}\times \mathbb{R}$是实数对的集合，能够很好的代表平面。而$\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}$则是平面上的点，只不过坐标恰好为整数。通常把这些集合记作${\mathbb{R}}^2$，${\mathbb{Z}}^2$。

如果$S$和$T$都是有限集合的话，显然有$|S\times T|=|S||T|$。

集合操作$\cup$，$\cap$，$\coprod$，$\times$可以扩展到一族集合上：例如，令$S_1,\dots ,S_n$都是集合，$$\bigcap _{i=1}^n{S}_i=S_1\cap S_2\cap \cdots \cap S_n$$这个集合中所有的元素都是那些同时在集合$S_1,\dots ,S_n$中出现的元素，对于其他操作也是类似的。注意下面两个表达式的区别：$$S_1\cup S_2\cup S_3=(S_1\cup S_2)\cup S_3=S_1\cup (S_2\cup S_3)$$$$S_1\times S_2\times S_3,(S_1\times S_2)\times S_3,S_1\times (S_2\times S_3)$$第二个表达式中的三个并不相等。

令$\mathcal{S}$是一族集合（$\mathcal{S}$是一个集合，它的元素也是集合），我们可以考虑下面的集合：$$\bigcup _{S\in \mathcal{S}}S,\bigcap _{S\in \mathcal{S}}S,\coprod _{S\in \mathcal{S}}S,\prod _{S\in \mathcal{S}}S$$代表了$\mathcal{S}$中所有集合的并，交，不相交的并和笛卡尔积。对于这些定义，有一些小细节需要注意：比如，对于所有的$S\in \mathcal{S}$都是非空的，那么${\prod }_{S\in \mathcal{S}}$也是非空的吗？读者或许觉得是非空的，但是如果$\mathcal{S}$是一个无限集合的时候，这个问题有点棘手，和选择公理有关（$axiomofchoice$）。

大体上这些细微之处并不影响本课程中的材料；当遇到这些问题的时候再详细讨论。

解读

• 引入了两个新的操作
• 集合族的操作
• 无限集合和有限集合的差别有点大
• 选择公理

遇到集合族的操作我就头大，高一的时候看的竞赛书上第一章就是集合的竞赛题，直接把我劝退了。

单词

• isomorphisms: 同构，同型
• bijections: 双射
• marred: 破坏;毁坏;损毁;损害；mar的过去分词和过去式
• incidentally: (引出新话题、附加信息、或临时想到的问题)顺便提一句;偶然;附带地
• thorny: 棘手的;麻烦的;引起争议的;有刺的;多刺的