余弦相似度和相关系数以及z-score之间的关系

向量$a$和$b$之间的余弦相似度只与他们之间的角度有关：
$$cos\theta =\frac{a\cdot b}{\Vert a\Vert \Vert b\Vert }$$
应用余弦相似度的时候，很多情况下向量都是非负的（比如文档中词项的频次向量）。在这些时候，余弦相似度也是非负的。

向量$x$的“$z$-score”向量一般地定义如下：
$$z=\frac{x-\bar{x}}{s_x}$$

其中$\bar{x}=\frac{1}{n}{\sum }_i{x}_i$且$s_x^2=\overline{(x-\bar{x}{)}^2}$，分别是$x$的均值和标准差。也就是说，$z_x$是$x$标准化之后的结果，是$x$的标准化版本。

对于向量$x$和向量$y$，他们的相关性系数为：
$${\rho }_{x,y}=\overline{(z_x{z}_y)}$$
因而，如果一个向量$a$的均值为0，那么它的方差为$s_a^2=\frac{1}{n}\Vert a{\Vert }^2$。因此，其单位向量和$z$-score的关系为：
$$\hat{a}=\frac{a}{\Vert a\Vert }=\frac{z_a}{\sqrt{n}}$$
所以，如果向量$a$和向量$b$是中心化的（也就是均值为0），那么它们的余弦相似度和它们的相关性系数是一样的。

太长不看：余弦相似度是向量方向上的单位向量的点积。而皮尔森相关系数是向量中心化后之间的余弦相似度。一个向量的"$z$-score变换"是将中心化的向量缩放到$\sqrt{n}$大小。

原文：Is there any relationship among cosine similarity, pearson correlation, and z-score?