matlab仿真实例100题_输入-输出反馈线性化(Feedback linearization)控制算法Matlab仿真实例...

反馈线性化(Feedback linearization)可能是大部分人接触非线性控制之后学习的第一种控制方法，个人认为主要优点有两点：一，它的理解和实现都相对简单，二，它能让非线性系统的转换为线性系统，这样接下来，就可以直接套用线性系统中已有的控制方法；但同时，它的缺点也是明显的：如对于relative degree低于状态维度的系统，线性化后可能有internal dynamics，需要单独分析，并且它时常是不稳定(unstable internal dynamics)的，这时候，就不能使用反馈线性化；此外，反馈线性化的有效性十分依赖非线性模型的准确程度。

虽然如此，反馈线性化还是有价值的，并且，它的思想在其他的非线性控制中（如滑模控制、自适应控制）也有体现。本文将首先介绍输入输出反馈线性化（Input-output linearization）的基本原理，随后给出几个例子，简单地演示了如何将反馈线性化和传统的线性控制器（如LQG）结合使用，以及如何通过解耦MIMO系统，实现消除unstable internal dynamic，实现反馈线性化。

给出了用到的Matlabsimulink仿真模型和代码。

本文目录

• 基本原理
• 单输入-单输出系统(SISO)
  • 例子
  • 仿真
  • plant部分
  • controller部分
• 问题
  • 解决办法
  • Simulink中的求导模块的一些反思
• MIMO

基本原理

单输入-单输出系统(SISO)

其中

,这里

大写是因为系统虽然是SISO，但可以有多个状态参数

• 1、对
  求导
  次，直到
  的表达式出现
  ，注意是
  的本体，不是
  或者
  或者其他微分形式
• 2、此时
  可以写成

其中的

就是求导

次累积出来的那些杂项。

• 3、令
  ，此时系统被转换为
  ，系统也可以写成：

• 4、针对这个线性系统设计控制率
  ，如全状态反馈，使系统实现各种目标：如保证稳定、
  或
  
• 5、最后一步：如果
  ，则需要检查系统的内部动态，确认它并不发散，如果
  则不需要。
  • 这一步存在的原因，感性的解释：根据(1)式我们只能得到
    这
    个量的稳定性，而系统的状态
    有
    个量，我们需要构建一个函数，用
    里
    个量的稳定性，证明
    里的
    个量也都稳定，有时候能保证，有时候不能保证。不能保证的时候，我们就说系统有unstable internal dynamics，也就用不了反馈线性化了，这确实挺玄的。
  • 例子：倒立摆小车，想让倒立摆保持一个特定角度，实现方法使是让车一直向某个方向匀加速度运动，这个时候角度是稳定了，但是小车的坐标是发散的，这个例子只是用来解释unstable internal dynamics的，可能并不太准确。

• • 具体的验证方法：在
    的基础上构造一个
    ，新加的
    个变量
    全部是
    的函数，最终能让
    与
    间存在可逆的变换，即
    ，注意这里的可逆是非常重要的性质，然后，对
    求导，想法儿证明这些新加变量(也叫internal dynamic)的稳定性。

例子

• 1、对
  求导
  次，直到
  的表达式出现
  

• 2、这里
  ，
  对应
  ，
  对应
  。
• 3、令
  ，此时系统就被线性化了，等价为
  
• 4、我们先令
  ，
  满足的动态方程就是一个标准的二阶系统，可以保证收敛。
• 5、因为
  ，需要研究internal dynamics

令

，这个

和

之间存在可逆的变换

接下来研究新引入的这个变量的稳定性

因为

可以确认收敛到0，所以这里

也可以保证收敛。因此我们可以使用反馈线性化来进行控制。

仿真

plant部分

• 在积分处设置初值，全部为1
• 系统的仿真使用matlab function模块，这个模块很适合仿真非线性系统，效率很高。

function [x1d,x2d,x3d] = fcn(x1,x2,x3,u)

x1d = x2+x3*sin(x1);
x2d = x3^2+cos(x1)*u;
x3d = -abs(cos(x1))*x3;

end 

controller部分

function u = fcn(x1,x1d,x2,x3)

g = cos(x1);
f = x3^2-x3*abs(cos(x1))*sin(x1)+(x2+x3*sin(x1))*x3*cos(x1);

v = -2*x1d-2*x1;
u = 1/g*(-f+v);

end

仿真效果

可见系统的三个状态都很好的收敛为0了。

问题

但是，有另外两个问题：

• 这个系统不是SISO么，哪儿来的全状态可用？
• 这个模型里控制器的求导模块会放大观测噪声，结果必然会导致系统性能变差，怎么办？

思考：

• 这里用了全状态输入到控制器中，这的确是不能直接实现的，因为我们假定只有
  这一个输出。但是，我们可以设计一个非线性观测器，由系统输入和输出观测得到系统的全状态，这个观测器对系统的影响，可以等价地理解为，输入给控制器的状态量相当于真值+一个逐渐收敛到有界的扰动。非线性观测器的设计不是这一篇的内容，但我们可以仿真模拟一下。
• 这里加了一个模块，作用是给信号加上一个收敛到有界的噪声信号

噪声的设置：power=1e-2 , sample time = 0.1

这个模块的示例：输入黄色，输出蓝色

实际仿真结果

• 可见加了噪声之后的系统（模拟用观测器给出的状态估计计算控制量u的大小的系统），状态还是能够收敛到有界的。但是这并不意味着所有的系统都能有这种鲁棒性，只是这里研究的系统性质比较好，还需要结合具体系统进行分析。
• 此外，可以看到蓝色的
  抖得比另外两个状态多，这是因为控制器中的求导模块有放大噪声的问题，也就是上面谈到的第二个问题。

这个求导模块会把白噪声放大几百倍，并且这不能通过求导模块里的那个参数c的设置来得到改善。

解决办法

在上面，通过反馈线性化之后的系统等价为

，我们又令

，最终得到的等价系统是

，这是一个标准的二阶系统，能保证收敛，但是由于

一项的存在，我们需要对

进行求导，而求导又会放大噪声。因此，考虑设计另外一种

的控制策略，

不再只是

和

的线性组合了，而是存在传递函数

,

,该滤波的设计目标是使系统对于观测噪声具有一定的鲁棒性。

这里使用LQG控制器来计算出

关于LQG可以参考我写的另外一篇文章以及里面提到的参考资料

LQG输出调节控制Matlab仿真实例 - 知乎 (zhihu.com)

LQG控制器是一种面对观测噪声和过程噪声，满足最优标准的观测器线性重构状态反馈的控制器。

被控系统：

A = [ 0 1  ; 0 1 ];
B = [ 0 1 ].';
C = [ 1 0 ];
D = 0;

可控性和可观测性检查

obsv(A,C)
ctrb(A,B)

可见系统可观也可控，因此LQG是可以设计出来的

sys = ss(A,B,C,D);

%这里的性能指标和噪声信息并没有仔细调，
QXU = blkdiag(eye(2),0.1);
QWV = blkdiag(eye(2),0.1);
reg = lqg(sys,QXU,QWV);

使用这个得到的regulator来控制反馈线性化之后的系统，搭建下面的模型

其中plant模型没变，controller模型：

代码:

function u = fcn(x1,x2,x3,v)

g = cos(x1);
f = x3^2-x3*abs(cos(x1))*sin(x1)+(x2+x3*sin(x1))*x3*cos(x1);


u = 1/g*(-f+v);

end

即把原来在函数中计算的v改为了外源输入

观测噪声Power设置为1e-3，控制效果:

可以看到使用LQG的方案也抖，甚至蓝色在负的峰值还变差了，但是如果我们看控制输入

可以看到使用求导的方案，因为信号中有噪声，所以控制输入有毛刺，而且波动大，而使用LQG的方案对噪声有一定抗性，控制更加平滑，波动较小。

Simulink中的求导模块的一些反思

最近学习非线性控制、滑模控制，经常需要用到这个模块，也有了一点关于它的思考。

simulink里的求导模块本身是一个离散的形式^[1]

这个模块对于没有噪声的信号，十分精准，但是对于有噪声的信号，会把噪声放大，输出的信号有毛刺，对于理论验证，它往往是准确的，但是对于现实工程的算法实现，应该肯定不会用这个。

让问题的分析变复杂的是，求导模块这是一个离散的模型，而我要验证的控制律和模型是基于连续时间的，同时，simulink的仿真又是使用离散计算来对连续时间微分模型的逼近，所以，正如评论区里指出的，还是应当尽量避免在simulink中使用这个模块，比如采用后一种结合lqg的方式。

连续与离散，控制理论研究和实际工程存在的这种脱节，实在经常让我困惑，或许是学的还不够多，但我觉得在未来的学校里的控制理论课程设计上，还是最好以连续时间引入，以离散时间分析为主。这样，对于绝大多数情况，理论、模拟、实践都是一致的，或许会少很多问题。

MIMO的例子见

MIMO反馈线性化(Feedback linearization)控制算法Matlab仿真实例 - 知乎 (zhihu.com)

参考

1. ^https://www.mathworks.com/help/simulink/slref/derivative.html