相对性原理的四维描述

闵柯夫斯基空间

用 $x,y,z,ict$ 建立一个四维的欧式空间，称为闵柯夫斯基空间。这个空间中任一点与原点的距离平方定义为 $s^2=x^2+y^2+z^2-c^2t^2$ .因为时间轴上的距离平方是负值，所以这其实是个赝欧式空间。

一个坐标取定的闵柯夫斯基空间可以看作一个确定的惯性系，而一个四维矩阵刻画了闵柯夫斯基时空的转动，可以看作惯性系之间的变换。光速不变的假设保证了这种变换时正交变换，即保持变换前后的距离不变。任意的四维正交矩阵有6个独立的参量，可以选取惯性系之间的相对速度 $\mathbf v$ （三个变量）和空间坐标架的相对轴向（三个变量）。

考虑 $x_2$ 和 $x_3$ 轴保持不变的转动，这个转动是 $x_1-x_4$ 平面转过一个角度 $\theta$ ，

这个转动的矩阵的形式应当是

L = ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ cos θ 00 - sin θ 01000010 sin θ 00 cos θ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥

$L= \begin{bmatrix} \cos\theta & 0 & 0 & \sin\theta\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ -\sin\theta & 0 & 0 & \cos\theta\\ \end{bmatrix}$

一方面，按照方程

d x 1 d x 4 = d x 1 i c d t = v i c

$\dfrac{\mathrm dx_1}{\mathrm dx_4}=\dfrac{\mathrm dx_1}{ic\,\mathrm dt}=\dfrac{v}{ic}$
另一方面，按照几何图像

d x 1 d x 4 = - tan θ

$\dfrac{\mathrm dx_1}{\mathrm dx_4}=-\tan\theta$
由此得到

θ $\theta$ 和

v $v$ 的关系。从而

cosθ=γ,sinθ=iγvc $\cos\theta=\gamma,\sin\theta=\dfrac{i\gamma v}{c}$ ，其中

γ=11−v2/c2−−−−−−−−√ $\gamma=\dfrac1{\sqrt{1-v^2/c^2}}$ .所以

L = ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ γ 00 - i γ v / c 01000010 i γ v / c 00 γ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥

$L= \begin{bmatrix} \gamma & 0 & 0 & {i\gamma v}/{c}\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ -{i\gamma v}/{c} & 0 & 0 & \gamma\\ \end{bmatrix}$
这正是洛伦兹变换。

洛伦兹变换下的四维张量

$S$ 和 $S'$ 系之间的变换写成

x' μ = L μ ν x ν, μ = 1, 2, 3, 4

$x_{\mu}'=L_{\mu\nu}x_\nu,\mu=1,2,3,4$

四维时空中，和惯性系无关的物理量称为标量或零阶张量，用四个数描述、且满足上述变换的物理量称为四维矢量或一阶张量。 $n$ 阶张量有 $4^n$ 个分量。

当把物理量用四维张量表示，相应的物理规律有四维张量方程的形式，那么它在惯性系转换中奖保持形式不变，称为方程在洛伦兹变换下是协变的。

下面将在四维时空中重新考察物理量的形式。

固有时间

闵柯夫斯基空间中，时间 $t$ 不再是一个四维变量，而是四维坐标矢量的一个分量。但是通过定义新的时间量来度量时间

d τ 2 = d t 2 - | r | 2 c 2 = - 1 c 2 d x μ d x μ = - 1 c 2 (d r, i c d t) \cdot (d r, i c d t)

$\mathrm d\tau^2=\mathrm dt^2-\dfrac{|\mathbf r|^2}{c^2}=-\dfrac1{c^2}\mathrm dx_\mu\mathrm dx_\mu=-\dfrac1{c^2}(\mathrm d\mathbf r,ic\mathrm dt)\cdot (\mathrm d\mathbf r,ic\mathrm dt)$
这是一个四维标量，物理含义是

S′ $S'$ 系的固有时间。

速度

四维速度定义为

U μ = d x μ d τ = (d r d τ, i c d t d τ)

$U_\mu=\dfrac{\mathrm dx_\mu}{\mathrm d\tau}=\left(\dfrac{\mathrm d\mathbf r}{\mathrm d\tau},ic\dfrac{\mathrm dt}{\mathrm d\tau}\right)$
联系动钟变慢现象，

dt=γdτ $\mathrm dt=\gamma\mathrm d\tau$ ,四维速度和三维速度的关系是

U = d t d τ (v, i c) = γ (v, i c)

$U=\dfrac{\mathrm dt}{\mathrm d\tau}(\mathbf v,ic)=\gamma(\mathbf v,ic)$
四维速度的长度

U2=UμUμ=γ2(v2−c2)=−c2 $U^2=U_\mu U_\mu = \gamma^2(v^2-c^2)=-c^2$

微商算符

四维微商算符定义为

\partial μ = \partial \partial x μ = (\nabla, 1 i c \partial \partial t)

$\partial_\mu=\dfrac{\partial }{\partial x_\mu}=(\nabla,\dfrac{1}{ic}\dfrac{\partial}{\partial t})$
简单验证

∂ $\partial$ 具有四维矢量的性质，设

φ $\varphi$ 是标量场

\partial' μ φ' = \partial φ ' \partial x ' μ = \partial φ \partial x μ \partial x μ \partial x ' μ = (L - 1) ν μ \partial ν φ = L μ ν \partial ν φ

$\partial_\mu'\varphi'=\dfrac{\partial\varphi'}{\partial x_\mu'}=\dfrac{\partial\varphi}{\partial x_\mu}\dfrac{\partial x_\mu}{\partial x_\mu'}=(L^{-1})_{\nu\mu}\partial_\nu\varphi=L_{\mu\nu}\partial_\nu\varphi$
其中用到洛伦兹变换

L−1=LT $L^{-1}=L^T$ 的性质。
对标量场

φ $\varphi$ ，矢量场

Fμ $\mathbf F_\mu$ ，

∂μφ $\partial_\mu\varphi$ 是矢量，

∂μFμ $\partial_\mu\mathbf F_\mu$ 是标量，

∂μFν $\partial_\mu\mathbf F_\nu$ 是二阶张量。还可以定义四维标量算符（达朗贝尔算符）

□ \equiv \partial μ \partial μ = \nabla 2 - 1 c 2 \partial 2 \partial t 2

$\square\equiv\partial_\mu\partial_\mu=\nabla^2-\dfrac1{c^2}\dfrac{\partial^2}{\partial t^2}$

电流

j μ = (j, i c ρ)

$j_{\mu}=(\mathbf j,ic\rho)$

电磁势

A μ = (A, i φ / c)

$A_{\mu}=(\mathbf A,i\varphi/c)$

电磁势波动方程

由

⎧ ⎩ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ \nabla 2 φ - 1 c 2 \partial 2 φ \partial t 2 = - ρ ε 0 \nabla 2 A - 1 c 2 \partial 2 A \partial t 2 = - μ 0 j 1 c 2 \partial φ \partial t + \nabla \cdot A = 0 \partial ρ \partial t + \nabla \cdot j = 0

$\begin{cases} \nabla^2\varphi-\dfrac1{c^2}\dfrac{\partial^2\varphi}{\partial t^2}=-\dfrac{\rho}{\varepsilon_0}\\ \nabla^2\mathbf A-\dfrac1{c^2}\dfrac{\partial^2\mathbf A}{\partial t^2}=-{\mu_0}\mathbf j\\ \dfrac1{c^2}\dfrac{\partial \varphi}{\partial t}+\nabla\cdot\mathbf A=0\\ \dfrac{\partial\rho}{\partial t}+\nabla\cdot\mathbf j=0 \end{cases}$
得

⎧ ⎩ ⎨ ⎪ ⎪ □ A μ = - μ 0 j μ \partial u A μ = 0 \partial u j μ = 0

$\begin{cases} \square A_\mu=-\mu_0j_\mu\\ \partial_uA_\mu=0\\ \partial_uj_\mu=0\\ \end{cases}$
在上述定义下，波动方程在洛伦兹变换下是协变的。

电磁场张量

F μ ν = = \partial μ A ν - \partial ν A μ ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ 0 - B z B y i c E x B z 0 - B x i c E y - B y B x 0 i c E z - i c E x - i c E y - i c E z 0 ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟

$\begin{align*} F_{\mu\nu}=&\partial_\mu A_\nu-\partial_\nu A_\mu\\ =&\begin{pmatrix} 0 & B_z & -B_y & -\dfrac icE_x \\ -B_z & 0 & B_x & -\dfrac icE_y \\ B_y & -B_x & 0 & -\dfrac icE_z \\ \dfrac icE_x & \dfrac icE_y & \dfrac icE_z & 0 \\ \end{pmatrix} \end{align*}$
反对称，有六个独立分量

麦克斯韦方程组

\partial ν F μ ν = μ 0 j μ \partial λ F μ ν + \partial μ F ν λ + \partial ν F λ μ = 0

$\partial_\nu F_{\mu\nu}=\mu_0j_\mu\\ \partial_\lambda F_{\mu\nu}+\partial_\mu F_{\nu\lambda}+\partial_\nu F_{\lambda\mu}=0$
前一个方程

μ=4 $\mu=4$ 的情况对应

\nabla \cdot E = ρ ε 0

$\nabla\cdot\mathbf E=\dfrac{\rho}{\varepsilon_0}$

μ=1,2,3 $\mu=1,2,3$ 的情况对应

\nabla \times B - 1 c 2 \partial E \partial t = μ 0 j

$\nabla\times\mathbf B-\dfrac1{c^2}\dfrac{\partial \mathbf E}{\partial t}=\mu_0\mathbf j$
后一个方程

μ,ν,λ $\mu,\nu,\lambda$ 有两个相等的情况是恒等式，两两各不相同的情况对应

\nabla \times E + \partial B \partial t = 0 \nabla \cdot B = 0

$\nabla\times E+\dfrac{\partial \mathbf B}{\partial t}=0\\\nabla\cdot\mathbf B=0$

电磁场

电磁场 $\mathbf B,\mathbf E$ 并没有对应的四维量，不过可以借助电磁场张量得到变换关系。根据张量的定义，电磁场张量

F' μ ν = L μ α L ν β F α β

$F'_{\mu\nu}=L_{\mu\alpha}L_{\nu\beta}F_{\alpha\beta}$
或用矩阵表示为

F' = L F L - 1

$\mathbf F'=\mathbf L\mathbf F\mathbf L^{-1}$
由此得到

⎧ ⎩ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ E' x = E x E' y = γ (E y - v B z) E' z = γ (E z + v B y) B' x = B x B' y = γ (B y + v c 2 E z) B' z = γ (B z - v c 2 E y)

$\begin{cases} E'_x=E_x\\[1ex] E'_y=\gamma(E_y-vB_z)\\[1ex] E'_z=\gamma(E_z+vB_y)\\[1ex] B'_x=B_x\\[1ex] B'_y=\gamma(B_y+\dfrac{v}{c^2}E_z)\\[1ex] B'_z=\gamma(B_z-\dfrac{v}{c^2}E_y)\\ \end{cases}$
或

⎧ ⎩ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ E' = γ (E + v \times B) - γ 2 γ + 1 v c (v c \cdot E) B' = γ (B - v \times E c 2) - γ 2 γ + 1 v c (v c \cdot B)

$\begin{cases} \mathbf E'=\gamma(\mathbf E+\mathbf v\times\mathbf B)-\dfrac{\gamma^2}{\gamma+1}\dfrac{\mathbf v}{c}\left(\dfrac{\mathbf v}{c}\cdot\mathbf E\right)\\[2ex] \mathbf B'=\gamma\left(\mathbf B-\dfrac{\mathbf v\times\mathbf E}{c^2}\right)-\dfrac{\gamma^2}{\gamma+1}\dfrac{\mathbf v}{c}\left(\dfrac{\mathbf v}{c}\cdot\mathbf B\right)\\ \end{cases}$

两者的组合 $E^2-c^2B^2,\mathbf E\cdot\mathbf B$ 在洛伦兹变换下保持不变。

tr (F μ ν F μ ν) = - 2 (B 2 - 1 c 2 E 2)

$\text{tr}(F_{\mu\nu}F_{\mu\nu})=-2(B^2-\dfrac1{c^2}E^2)$

电磁力(密度)

f μ = (f, i c W)

$f_\mu=(\mathbf f,\dfrac ic W)$
其中

f $\mathbf f$ 是力密度，

W=E⋅j $W=\mathbf E\cdot\mathbf j$ 是电磁力对载流体的功率密度。

四维能量动量张量

(T μ ν) = ⎛ ⎝ T ⃗ i c g i c S - w ⎞ ⎠

$(T_{\mu\nu})=\begin{pmatrix}\vec{\mathbf T} & \dfrac ic\mathbf S\\ic\mathbf g & -w\end{pmatrix}$
其中

T⃗ $\vec{\mathbf T}$ 是动量流密度，

S $\mathbf S$ 是能流密度，

g $\mathbf g$ 是动量密度，

w $w$ 是能量密度。

电磁动量和能量守恒

由

⎧ ⎩ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ W = - \partial w \partial t - \nabla \cdot S f = - \partial g \partial t - \nabla \cdot T ⃗

$\begin{cases} W=-\dfrac{\partial w}{\partial t}-\nabla\cdot \mathbf S\\ \mathbf f=-\dfrac{\partial \mathbf g}{\partial t}-\nabla\cdot\vec{\mathbf T} \end{cases}$
得

f ν = - \partial μ T μ ν

$f_\nu=-\partial_\mu T_{\mu\nu}$
可以解释称能量动量张量的四维散度等于电磁力密度。

固有体积

d V 0 = γ d x d y d z = γ d V

$\mathrm dV_0=\gamma\mathrm dx\mathrm dy\mathrm dz=\gamma\mathrm dV$
这是一个四维标量

力

F μ = ∭ γ f μ d V = γ (F, i c P)

$F_\mu=\iiint\gamma f_\mu\mathrm dV=\gamma(\mathbf F,\dfrac ic P)$
其中

P $P$ 是功率。

牛顿运动定律

F μ = d d τ (m 0 U μ)

$F_\mu=\dfrac{\mathrm d}{\mathrm d\tau}(m_0 U_\mu)$
将这个方程分成两个部分

⎧ ⎩ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ γ F = d d τ (γ m 0 v) γ P = d d τ (γ m 0 c 2)

$\begin{cases} \gamma\mathbf F=\dfrac{\mathrm d}{\mathrm d\tau}(\gamma m_0\mathbf v)\\ \gamma P=\dfrac{\mathrm d}{\mathrm d\tau}(\gamma m_0c^2)\\ \end{cases}$
第一个部分要和牛顿第二定律对应，就要求

m=γm0 $m=\gamma m_0$ 。由此第二个部分可以改写成

γ P = d d τ (m c 2)

$\gamma P=\dfrac{\mathrm d}{\mathrm d\tau}(mc^2)$
要和经典情况对应，要求

mc2 $mc^2$ 是能量，记为

E $E$ 。定义动能为

K=mc2−m0c2=(γ−1)m0c2 $K=mc^2-m_0c^2=(\gamma-1)m_0c^2$ （保证静止时动能为

0 $0$ ），而

m0c2 $m_0c^2$ 称为静能。至此，爱因斯坦得到了质能关系。

E = m c 2

$E=mc^2$

动量

p μ = m 0 U μ = (p, i c E)

$p_\mu=m_0U_\mu=(\mathbf p,\dfrac icE)$
其中三维动量

p=mv=γm0v $\mathbf p=m\mathbf v=\gamma m_0\mathbf v$ ，能量

E=mc2=γm0c2 $E=mc^2=\gamma m_0c^2$

波矢

k μ = (k, i ω c)

$k_\mu = (\mathbf k, \dfrac{i\omega}c)$

协变

一个四维矢量协变，意味着这个矢量或张量服从洛伦兹变换，意味着它的各个分量在两个惯性系中的变换关系具有和四维坐标相同的形式。从这个意义上来说，洛伦兹变换的基本形式仅仅是洛伦兹变换应用到坐标上的特殊情况。所以为了求出某个物理量在两个惯性系间的关系，只要找到这个物理量所在的协变量，然后利用洛伦兹变换求解。比如，已知 $S$ 系中的矢势和标势，要计算 $S'$ 系中这两个量，只需要把矢势和标势放在四维矢量 $A_\mu=(\mathbf A,\dfrac{i\varphi}{c})$ 中，用洛伦兹变换即可。

本文主要参考俞允强《电动力学简明教程》

原文链接：https://blog.csdn.net/u013795675/article/details/50392140