函数沿某一方向的变化率_方向导数与梯度

导数在数学上的定义就是一个数值，该数值表示的是函数值在某一点随自变量变化的大小。

方向导数：顾名思义，一个多元函数函数值的变化方向要比一元函数多，所以这时就需要确定方向，一元函数只有正反两个方向，多元函数有存在许多个方向。

所以 方向导数 ＝ 梯度 与 方向余弦的数量积。

这里的方向余弦就是用来确定方向的，所以在做题时，方向余弦一定是会给出或隐藏在题中的已知信息中，如果没有方向余弦，就无法求解出方向导数。

梯度：这不是一个数，而是一个向量，表示的是函数沿着该方向变化时－变化率最快，该向量的坐标值 ＝ 对应变量关于函数方程的偏导数。

梯度的模是函数在该点处的最大变化率，这里取模就可以确定最大变化率的原理是：此时梯度与方向余弦（两个向量）之间的夹角为 0 。

总结：梯度与方向余弦两个的数量积正好是方向导数。这里奇妙的是：两个向量通过数量积来确定了一个数，可以说数量积（点乘）真是一个神奇的符号。

易错点：方向余弦一定是一个单位向量。