【求解AX=0】 – 源码巴士

首先我们给出矩阵 $A$ ：

$A=\left[ {\begin{array}{cc} 1\quad2\quad2\quad2\\ 2\quad4\quad6\quad8\\ 3\quad6\quad8\quad10\\ \end{array} } \right]$

我们要求解 $A X = 0$ 的常规解法就是利用消元

由于消元所用到的初等变换均不会使方程的右侧（0）发生改变，因此我们只需要考虑方程的左侧即可。
我们对其进行消元，首先行2减去两倍的行1得到：
$\left[ {\begin{array}{cc} 1\quad2\quad2\quad2\\ 0\quad0\quad2\quad4\\ 3\quad6\quad8\quad10\\ \end{array} } \right]$
而后用行3减去三倍的行1：
$\left[ {\begin{array}{cc} 1\quad2\quad2\quad2\\ 0\quad0\quad2\quad4\\ 0\quad0\quad2\quad4\\ \end{array} } \right]$
然后我们用行3减去行2：
$\left[ {\begin{array}{cc} 1\quad2\quad2\quad2\\ 0\quad0\quad2\quad4\\ 0\quad0\quad0\quad0\\ \end{array} } \right]=U$
可以看到这个矩阵的主元只有两个，因此我们称这个矩阵的秩为2
对应的这个矩阵有两个主列，即列1和列3，其他两列我们称为自由列（之所以称为自由列，是因为其对应的未知数的解我们可以任取）

我们再来求解 $U X = 0$ ，即：

$\left[ {\begin{array}{cc} 1\quad2\quad2\quad2\\ 0\quad0\quad2\quad4\\ 0\quad0\quad0\quad0\\ \end{array} } \right]\left[ {\begin{array}{cc} x_1\\ x_2\\ x_3\\x_4 \end{array} } \right]=\left[ {\begin{array}{cc} 0\\ 0\\ 0\\0 \end{array} } \right]$

写成线性方程组的形式即：

$KaTeX parse error: Expected 'EOF', got '&' at position 10: x_1+2x_2+&̲2x_3+2x_4=0\\&2…$

前面有提到自由列对应的未知数可以任意取值，我们不妨取 $x_2=1,x_4=0$
因此我们可以求得一个解为 $\left[ {\begin{array}{cc} -2\\ 1\\ 0\\0 \end{array} } \right]$
进而我们可以得到任意 $c\in R$ ， $c\left[ {\begin{array}{cc} -2\\ 1\\ 0\\0 \end{array} } \right]$ 也是该方程的解，我们称他为方程组的一组特解
同样我们可以通过取不同的自由值得到不同的解

对于上面的矩阵 $U$ ，我们可以按照一定的原则继续化简

主元上下的元素均为0,
主元变为1

因此我们就得到了矩阵 $R$ :

$\left[ {\begin{array}{cc} 1\quad2\quad0-2\\ 0\quad0\quad1\quad2\\ 0\quad0\quad0\quad0\\ \end{array} } \right]$

如果我们将主列放在前面，自由列放在后面，我们就可以得到一个由主列构成的单位矩阵 $I$ ，和自由列构成的矩阵 $F$

$\left[ {\begin{array}{cc} 1\quad0\\ 0\quad1\\ \end{array} } \right]\left[ {\begin{array}{cc} 2-2\\ 0\quad2\\ \end{array} } \right]$

因此我们的矩阵 $R$ 可以表示为一种通用的形式：

$R=\left[ {\begin{array}{cc} I\quad F\\ 0\quad0\\ \end{array} } \right]$

那么我们有没有办法一次性求出所有特解呢，我们假设特解矩阵为 $N$ ，即：

$RN = 0$

解得：

$N=\left[ {\begin{array}{cc} -F\\ I\\ \end{array} } \right]$

其中 $N$ 的每列都是一组特解

原文链接：https://blog.csdn.net/chenjunheaixuexi/article/details/125850453