黎曼可积的充分必要条件 (2)
设 f(x):[a,b]→R有界，
∀P:a=x0<⋯<xn=b,n∈N,n≥1,
∀i∈N,1≤i≤n,令 wi=Mi−mi,
Mi=sup{f(x):x∈[xi−1,xi],},
mi=inf{f(x):x∈[xi−1,xi]}
则：
命题 1
f(x)可积 ⇔limλ→0S¯¯(P)=L=l=limλ→0S−−(P)
证明：
f(x)可积的必要性：
f(x)可积 ⇒∃I∈R，
使得 ∀ε>0,∃δ>0， 使得对于任意一种 [a,b]上的划分 P和任意
只要 λ=max{Δxi:i∈N,1≤i≤n}<δ,
便有 |∑ni=1f(εi)Δxi−I|<ε2,
特殊的，∀i∈N,1≤i≤n取 εi∈[xi−1,xi]满足： 0≤Mi−f(εi)<ε2(b−a),
由于 Mi是 {f(x):x∈[xi−1,xi]}的上确界， 因此这样的点是一定可以取到的。
因此 0<∑ni=1(Mi−f(εi))Δxi
<∑ni=1ε2(b−a)Δxi
=ε2(b−a)∑ni=1Δxi
=ε2(b−a)(b−a)
=ε2,
⇒|S¯¯(P)−∑ni=1f(εi)Δxi|
=|∑ni=1MiΔxi−∑ni=1f(εi)Δxi|
=|∑ni=1(Mi−f(εi))Δxi|
<ε2,
⇒|S¯¯(P)−I|
=|(S¯¯(P)−∑ni=1f(εi)Δxi)+(∑ni=1f(εi)Δxi−I)|
≤|S¯¯(P)−∑ni=1f(εi)Δxi|+|∑ni=1f(εi)Δxi−I|
<ε2+ε2=ε,
⇒limλ→0S¯¯(P)=I
由 Darboux定理，limλ→0S¯¯(P)=L
因此 I=L,同理可得 I=l,因此 L=l
f(x)可积的充分性：
由 Darboux定理，limλ→0S¯¯(P)=L,
limλ→0S−−(P)=l,
因此对于任意 ε>0，∃δ1>0， 使得对于任意一种 [a,b]上的划分 P，只要
对于上面的 ε，∃δ2>0，
使得对于任意一种 [a,b]上的划分 P，只要
便有 0≤l−S−−(P)<ε,
取 δ=min{δ1,δ2},则对于任意一种 [a,b]上的划分 P，
只要
便有 {0≤S¯¯(P)−L<ε,0≤l−S−−(P)<ε,
又 L=l,
因此对于任意 n个点
−ε<∑ni=1mi−l≤S−−(P)−l
=∑ni=1f(εi)Δxi−l
=∑ni=1f(εi)Δxi−L
≤∑ni=1Mi−L
=S¯¯(P)−L<ε，
⇒|∑ni=1f(εi)Δxi−L|<ε，
因此 f(x)可积。
命题2
f(x)可积 ⇔limλ→0∑ni=1wiΔxi=0
证明：
由 Darboux定理，limλ→0S¯¯(P)=L,
limλ→0S−−(P)=l,
因此 limλ→0∑ni=1wiΔxi
=limλ→0∑ni=1(Mi−mi)Δxi
=limλ→0∑ni=1(MiΔxi−miΔxi)
=limλ→0(∑ni=1MiΔxi−∑ni=1miΔxi)
=limλ→0(S¯¯(P)−S−−(P))
=limλ→0S¯¯(P)−limλ→0S−−(P)
=L−l
而由命题1， f(x)可积 ⇔L=l⇔L−l=0
因此 f(x)可积 ⇔limλ→0∑ni=1wiΔxi=0
命题 3
f(x)可积 ⇔∀ε>0,∃P,使得 ∑ni=1wiΔxi<ε
证明：
f(x)可积的必要性：
f(x)可积 ⇒limλ→0∑ni=1wiΔxi=0
因此对于任意 ε>0，∃δ>0，
只要 λ=max{Δxi:i∈N,1≤i≤n}<δ,
便有 ∑ni=1wiΔxi<ε,
特别的，可取 n=⌊b−aδ⌋+1,xi=a+b−an⋅i,i∈N,0≤i≤n,
则 Δxi=b−an,∀i∈N,1≤i≤n,
⇒λ=max{Δxi:i∈N,1≤i≤n}
=b−an
=b−a⌊b−aδ⌋+1
<b−ab−aδ=δ,
⇒∀ε>0,∃P,使得 ∑ni=1wiΔxi<ε
f(x)可积的充分性：
∀ε>0,∃P,使得 ∑ni=1wiΔxi<ε
⇒ε>∑ni=1wiΔxi
=∑ni=1(Mi−mi)Δxi
=∑ni=1(MiΔxi−miΔxi)
=∑ni=1MiΔxi−∑ni=1miΔxi
=S¯¯(P)−S−−(P)
≥L−l≥0
⇒L−l=0⇒f(x)可积。