5 分类数据的关联分析

5.1 分类变量独立性检验

5.1.1 $r\times s$列联表

5.1.2 ${\chi }^2$独立性检验

${\chi }^2$独立性是一种一般性关联,即

能得出行变量与列变量存在关联，但是没有指出更细微的相关或其他特殊关系。

Pearson${\chi }^2$检验对于列联表有一些要求

• 测量不同类之间是否独立
• 频数过小的格点不能太多
• 行列数至少一个超过2
• 单元格中期望频数低于5的单元数目不能超过总单元格的$20\%$
• 不能匀速存在单元格期望频数小于1

5.1.3 ${\chi }^2$齐性检验

区别于${\chi }^2$独立性，${\chi }^2$齐性关注的问题是

行表示不同的区组，列表是我们感兴趣的问题，我们希望回答列变量比例分布在各个区组之间是否一致。

我们的数据依然是$r\times s$的列联表，$r$个问题，$s$个区组。
检验问题
$$\forall i=1,2,...,r{H}_0:p_{i1}=...=p_{is}=p_{i.}\leftrightarrow H_1:等式不全成立$$
检验和${\chi }^2$独立性完全一样。

5.1.4 Fisher 精确性检验

5.1.4.1 2维小列联表

如果$2\times 2$的列联表有出现有一个格子的期望数小于5，因为单格占比$25\%$，就会引起Pearson${\chi }^2$的警告，此时应该用Fisher精确性检验。

关注$n_{11}$的情况就足以反映全局，$n_{11}$服从超几何分布
$$P()$$

5.1.4.2 一般列联表

多元超几何分布

5.1.5 二值变量的 McNemar 检验

上一章在完全区组设计也有一个服务于二值分类变量的检验Cochran，这节是关于二值变量独立性的McNemar。

McNemar用于配对计数数据的分析，分析配对数据中控制组和处理组的频率或比率是否有差异，对于比较同一批观测对象用药前后的结果有无差异时非常有效。

McNemar关注非主对角线单元格上的信息，行变量与列变量两者之间不一致的评价信息，比较两个评价者间各自存在什么倾向性。

$$H_0:p_{01}-p_{10}=0\leftrightarrow H_1:p_{01}-p_{10}\ne 0$$
以$\frac{n_{01}}{n}-\frac{n_{10}}{n}$做$p_{01}-p_{10}$的估计，使用Wald统计量得到
$${\chi }^2=\frac{(n_{01}-n_{10}{)}^2}{n_{01}+n_{10}}\stackrel{H_0}{\sim }{\chi }^2(1)$$
不适用情景
一致性较好的大样本数据

5.2 变量关联分析扩展

5.2.1 Mantel-Haenszel 检验

很多检验涉及到分层结构数据，这是什么呢？

在我们讨论5.1节的内容的时候，可能数据只是一个截块，其单一 $r\times s$ 表只是背后另一个变量取特值时候呈现的。这一节M-H考虑了背后的分类变量，其表现形式是多张 $r\times s$ 的列联表，比如按照不同医院进行分层。

以二维表格为例
令分层结构$h=1,2,...,k$，$n_{hij}$表示第$h$层四格列联表的观测频数
频数和 $n_h={\sum }_i{\sum }_j{n}_{hij},n={\sum }_{h=1}^k{n}_h$
$$\begin{gathered} H_0:试验组和对照组在治疗效果上没有差异 \\ {H}_1:试验组和对照组在治疗效果上存在差异 \end{gathered}$$
值得一提的是，医学实验对照组常用安慰剂

检验方法

• 假设$H_0$成立，先求出第$h$层的期望和方差$E{n}_{h_{11}},var(n_{h_{11}})$
• 计算$Q_{MH}$统计量，近似服从${\chi }^2(1)$

$$\begin{array}{rl}E{n}_{h_{11}}& =\\ var(n_{h_{11}})& =\\ Q_{MH}& =\end{array}$$

5.2.2 关联规则

日后更新

5.2.2.1 基本概念

5.2.2.2 Apriori 算法

5.3 Ridit 检验法

5.4 对数线性模型

日后更新

5.4.1 基本概念

5.4.2 设计矩阵

5.4.3 估计和检验

5.4.4 高维对数线性模型和独立性

问题

• Wald统计量是什么?