近世代数--循环群--怎么判断是不是循环群？

博主是初学近世代数（群环域），本意是想整理一些较难理解的定理、算法，加深记忆也方便日后查找；如果有错，欢迎指正。
我整理成一个系列：近世代数，方便检索。

个人感觉循环群需要原根的基础知识，这里是我对原根的部分记录。

三个方法：

• 1.定义

循环群：设群$G$中任意元素都可以表示成某一固定元素$a$的幂次，$G=\{a^n|n\in Z\}，$那么称$G$为循环群，$a$为群$G$的生成元，写成$G=<a>$。

• 2.循环群的子群也是循环群。

证明：假设循环群$G=<a>,$因为$<e>$和$<a>$不需要证明，直接是循环群，所以我们只需考虑那些非单位元$\{e\}$、非群$G$本身的其他群，假设子群为$H$，
设$s>1,$是使得$a^s\in H$的最小数，我们只需证$H$中的所有元素都可以用$a^s$的幂次来表示即可。
我们假设$a^m$是$H$的任意元素，那么$m=q\cdot s+r,\exists q,r\in Z,0\le r<s$
我们有$a^r=a^m\cdot (a^{-qs})=a^m\cdot ((a^s{)}^q{)}^{-1}$
因为$a^s\in H,$由群的“封闭性”可知，$(a^s{)}^q\in H$;又由群的“单位元+逆元”可知，$((a^s{)}^q{)}^{-1}\in H$，所以$a^m\cdot ((a^s{)}^q{)}^{-1}\in H$，即$a^r\in H。$
又因为$s$是使得$a^s\in H$的最小数，所以$r=0$，即$m=q\cdot s,a^m=(a^s{)}^q$，即任意$a^m\in H$都可以写成$a^s$的幂次形式。

• 3.素数阶群一定是循环群，非单位元都是生成元。

假设素数阶群为$G$，$|G|=p,p$为素数。
任意元素$a\in G,a\ne e$，由之前信息安全数学基础–群环域–拉格朗日定理（关于群的陪集）证过的$|G|=|H|\cdot [G:H]$，我们知道任意子群$|H|$与群$|G|$的阶都是有整除关系的，即$|H|\mid |G|$。根据群的“封闭性”，我们知道$<a>$是$G$的子群，所以有$|<a>|\mid |G|=p$。

此时，$a^{|G|}=1$。为什么不是$\equiv 1(mod|G|)$，因为对于群$(G，\cdot )$，运算$\cdot$本身包含了$\cdot (mod|G|)$的意思，即每次做群运算都有$\cdot (mod|G|)$，而不是最后乘法结果$\cdot (mod|G|)$。

又因为$a\ne e,\to |a|\ne 1$，所以$|<a>|=p$，即$G=<a>$。

所以，非循环群最小阶数为4。

• 1阶群，只有一个元素，是循环群；

• 因为2、3是素数，所以2阶，3阶群是循环群；

  • 唯一三阶群：$\{1,a,b\}$，循环群

• 存在阶数为4的非循环群；

  • 某个四阶群（四阶群不唯一）：$\{1,a,b,c\}$，非循环群