四元数基本概念&&四元数3D旋转（求两个四元数的夹角）

四元数基本概念

1. 四元数定义
$q=a+bi+cj+dk (a,b,c,d\in \mathbb{R})$
$i^{2}=j^{2}=k^{2}=ijk=-1$
向量形式： $q=\begin{bmatrix} a\\ b\\ c\\ d\\ \end{bmatrix}$
模长： $\left \| q \right \|=\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}}$
2. 四元数加减法
$q1=a+bi+cj+dk$ $q2=e+fi+gj+hk$
$q1\pm q2=\left ( a\pm e \right )+\left ( b\pm f \right )i+\left ( c\pm g \right )j+\left ( d\pm h \right )k$
3. 四元数的逆和共轭
$qq-1=q-1q=1(q\neq 0)$
$q=a+bi+cj+dk$ $q*=a-bi-cj-dk$
$q*q=qq*=\left \| q \right \|^{2}$ $q-1=\frac{q*}{\left \| q \right \|^{2}}$
当q是单位四元数时， $q-1=q*$
4. 四元数乘法
4.1 标量乘法
$q=a+bi+cj+dk$ ；标量s
$sq=sa+sbi+scj+sdk$ 四元数与标量相乘满足乘法交换律： $sq=qs$
4.2 四元数的乘法
$q1=a+bi+cj+dk$ $q2=e+fi+gj+hk$ $q1\cdot q2\not \neq q2\cdot q1$
1 i j k
1 1 i j k
i i -1 k -j
j j -k -1 i
k k j -i -1
$q1\cdot q2=\left ( a+bi+cj+dk \right )\cdot \left ( e+fi+gj+hk \right )\\=\left ( ae+afi+agj+ahk \right )+\left ( bei+bfi^{2}+bgij+bhik \right )+\left ( cej+cfji+cgj^{2}+chjk \right )+\left ( dek+dfki+dgkj+dhk^{2} \right )\\=\left ( ae-bf-cg-dh \right )+\left ( be+af-dg+ch \right )i+\left ( ce+df+ag-bh \right )j+\left ( de-cf+bg+ah \right )k$
写成矩阵形式： $q1\cdot q2=\begin{bmatrix} a & -b& -c &-d \\ b & a& -d& c\\ c & d& a&-b \\ d& -c& b& a \end{bmatrix}\begin{bmatrix} e\\ f\\ g\\ h \end{bmatrix}$ $q2\cdot q1=\begin{bmatrix} a & -b& -c &-d \\ b & a& d&- c\\ c & -d& a&b \\ d& c& -b& a \end{bmatrix}\begin{bmatrix} e\\ f\\ g\\ h \end{bmatrix}$

四元数3D旋转

四元数 $q1$ ，经过旋转四元数 $q$ 后得到四元数 $q2$ ：

$qq1=q2$ （左乘） $q=q2q1^{-1}$

$q1^{-1}=q*=a-bi-cj-dk$

$q2q1^{-1}=\begin{bmatrix} e& -f& -g& -h\\ f& e & -h&g \\ g & h & e &-f \\ h &-g &f & e \end{bmatrix}\begin{bmatrix} a\\ -b\\ -c\\ -d \end{bmatrix}$

四元数转欧拉角：

$\left\{\begin{matrix} \varphi =arctan2\left ( \frac{2\left ( ab+cd \right )}{1-2\left ( b^{2} +c^{2}\right )^{2}} \right )\\ \theta =arcsin\left ( 2\left ( ac-bd \right ) \right )\\ \psi =arctan2\left ( \frac{2\left ( ad+bc \right )}{1-2\left ( c^{2} +d^{2}\right )^{2}} \right ) \end{matrix}\right.$

计算出三轴欧拉角，欧拉角具有旋转顺序。

原文链接：https://blog.csdn.net/qq_41730259/article/details/127481463