狄拉克函数及其基本性质

狄拉克函数其实是一种广义函数，有关广义函数的更多内容，可以参考施瓦兹大佬亲笔写的《广义函数论》，很精彩。

定义由狄拉克给出：
$${\int }_{-\infty }^{\infty }\delta (t)dt=1$$ $$\delta (t)=0,t\ne 0$$

$\delta (t)$的基本性质

1. 筛选性
   • $x(t)\delta (t-t_0)=x(t_0)\delta (t-t_0)$
   • $x(t)\delta (t)=x(0)\delta (t)$
   • ${\int }_{-\infty }^{\infty }x(t)\delta (t-t_0)dt=x(t_0)$
   • ${\int }_{-\infty }^{\infty }x(t)\delta (t)dt=x(0)$
2. 偶函数：$\delta (-t)=\delta (t)$
3. 尺度变换：$\delta (at)=\frac{1}{|a|}\delta (t)$
4. 卷积特性：$x(t)\ast \delta (t-t_0)=x(t-t_0)$
5. 对任意函数$f(t)$，都有$$\delta (f(t))=\sum _i\frac{1}{|f^{\prime }(t_i)|}\delta (t-t_i)$$其中$t_i$为$f(t)$的零点。
6. 与阶跃函数$u(t)$的关系：$${\int }_{\infty }^t\delta (\tau )d\tau =u(t)$$ $$\frac{d}{dt}u(t)=\delta (t)$$
   注意，同一时刻出现的单位冲激、高阶冲激（二阶导以上的）间的乘积，如${\delta }^2(t)$，$\delta (t){\delta }^{\prime }(t)$等，都没有意义。

${\delta }^{\prime }(t)$的基本性质

1. ${\delta }^{\prime }(t)$的面积为0：${\int }_{-\infty }^{\infty }{\delta }^{\prime }(t)dt=0$
2. 筛选性：
   • $x(t){\delta }^{\prime }(t)=x(0){\delta }^{\prime }(t)-x^{\prime }(0)\delta (t)$
   • ${\int }_{-\infty }^{\infty }x(t){\delta }^{\prime }(t)dt=-x^{\prime }(0)$
   • ${\int }_{-\infty }^{\infty }x(t){\delta }^{\prime }(t-t_0)dt=-x^{\prime }(t_0)$
3. 奇函数：${\delta }^{\prime }(-t)=-{\delta }^{\prime }(t)$
4. 尺度变换：$${\delta }^{\prime }(at)=\frac{{\delta }^{\prime }(t)}{a|a|}$$

${\delta }^{(k)}(t)$的基本性质

这一条是上面两条的推广，当阶次提高到$k$，性质如下（${\delta }^{(k)}(t)$表示$\delta (t)$的$k$阶导数）：

1. 筛选性：${\int }_{-\infty }^{\infty }{\delta }^{(k)}(t)x(t)dt=(-1{)}^k{x}^k(0),k\ge 0$
2. 奇偶性：${\delta }^{(k)}(t)=(-1{)}^k{\delta }^{(k)}(-t)$，这表明，若$k$为奇数，则${\delta }^{(k)}(t)$为奇函数，否则为偶函数。
3. ${\int }_{-\infty }^{\infty }{\delta }^{(k)}(t)dt=0,k\ge 1$
4. 若$x(t)$的$k$阶导数在$t=0$处连续，则$$x(t){\delta }^{(k)}(t)=\sum _{m=0}^k(-1{)}^m{C}_k^m{x}^{(m)}(0){\delta }^{(k-m)}(t),k\ge 0$$
5. $x(t)\ast {\delta }^{(k)}(t-t_0)=x^{(k)}(t-t_0)$，当$k=-1$时，就变成了$x(t)\ast u(t)={\int }_{-\infty }^{t}x(\tau )d\tau$