近世代数--群同构--第一同构定理
博主是初学近世代数（群环域），本意是想整理一些较难理解的定理、算法，加深记忆也方便日后查找；如果有错，欢迎指正。
我整理成一个系列：近世代数，方便检索。
先验知识
- 正规子群normal subgroup：∀ a ∈ G , H ≤ G , \forall a\in G,H\le G,∀a∈G,H≤G,有a H = H a , aH=Ha,aH=Ha,则称H HH是G GG的正规子群，记作H ⊴ G H\unlhd GH⊴G。如果H ≠ G H\neq GH=G，那么称H HH是G GG的proper normal subgroup，记作H ◃ G H\triangleleft GH◃G。通常，我们讨论的都是H ≠ G H\neq GH=G的情况，所以下文中都直接使用H ◃ G H\triangleleft GH◃G。
其中群G GG本身和单位元{ e } \{e\}{e}是群G GG的正规子群。
且H ◃ G ↔ ∀ a ∈ G , a H a − 1 ⊂ H H\triangleleft G\leftrightarrow \forall a\in G,aHa^{-1}\subset HH◃G↔∀a∈G,aHa−1⊂H
证明：
“ → : ” “\rightarrow: ”“→:”H ◃ G → ∀ a ∈ G , a H = H a → ∀ a ∈ G , a H a − 1 = H ⊂ H H\triangleleft G\rightarrow \forall a\in G,aH=Ha\rightarrow \forall a\in G,aHa^{-1}=H\subset HH◃G→∀a∈G,aH=Ha→∀a∈G,aHa−1=H⊂H
“ ← : ” “\leftarrow: ”“←:”∀ a ∈ G , a H a − 1 ⊂ H → ∃ h 1 , h 2 ∈ H , a h 1 a − 1 = h 2 → a h 1 = h 2 a ∈ H a → a H ⊂ H a ; \forall a\in G,aHa^{-1}\subset H\rightarrow {\exists}h_1,h_2\in H,ah_1a^{-1}=h_2\rightarrow ah_1=h_2a\in Ha\rightarrow aH\subset Ha;∀a∈G,aHa−1⊂H→∃h1,h2∈H,ah1a−1=h2→ah1=h2a∈Ha→aH⊂Ha;同理，H a ⊂ a H ; Ha\subset aH;Ha⊂aH;故，a H = H a , H ◃ G 。 aH=Ha,H\triangleleft G。aH=Ha,H◃G。
- 商群：有H ◃ G , G H\triangleleft G,GH◃G,G对H HH的所有不同陪集的集合，记作G / H ， G / H G/H，G/HG/H，G/H关于子集的乘法构成一个群。
证明：单位元+逆元+封闭性+结合性
单位元：G / H = { a H ∣ H ◃ G , a ∈ G } , G/H=\{aH|H\triangleleft G,a\in G\},G/H={aH∣H◃G,a∈G},已知a H ⋅ H = H ⋅ a H = a H , aH·H=H·aH=aH,aH⋅H=H⋅aH=aH,所以H HH是单位元
逆元：a H ⋅ a − 1 H = a a − 1 H = H ; a − 1 H ⋅ a H = a − 1 a H = H , aH·a^{-1}H=aa^{-1}H=H;a^{-1}H·aH=a^{-1}aH=H,aH⋅a−1H=aa−1H=H;a−1H⋅aH=a−1aH=H,所以a − 1 H a^{-1}Ha−1H是a H aHaH的逆元
封闭性：∀ a H , b H ∈ G / H , a H ⋅ b H = a h 1 b h 2 ∣ h 1 , h 2 ∈ H = a b h 1 h 2 ∣ h 1 h 2 ∈ H = a b h ∣ h ∈ H = a b H , \forall aH,bH\in G/H,aH·bH=ah_1bh_2|h_1,h_2\in H=abh_1h_2|h_1h_2\in H=abh|h\in H=abH,∀aH,bH∈G/H,aH⋅bH=ah1bh2∣h1,h2∈H=abh1h2∣h1h2∈H=abh∣h∈H=abH,因为a , b ∈ G , → a b ∈ G , a,b\in G,\rightarrow ab\in G,a,b∈G,→ab∈G,所以a b H ∈ G / H abH\in G/HabH∈G/H
结合性：( a H ⋅ b H ) ⋅ c H = a b H ⋅ c H = a b c H ; a H ⋅ ( b H ⋅ c H ) = a H ⋅ b c H = a b c H (aH·bH)·cH=abH·cH=abcH;aH·(bH·cH)=aH·bcH=abcH(aH⋅bH)⋅cH=abH⋅cH=abcH;aH⋅(bH⋅cH)=aH⋅bcH=abcH,所以( a H ⋅ b H ) ⋅ c H = a H ⋅ ( b H ⋅ c H ) (aH·bH)·cH=aH·(bH·cH)(aH⋅bH)⋅cH=aH⋅(bH⋅cH)
- 群同态：有两个群( G , ⋅ ) , ( G ′ , ∗ ) (G,·),(G',*)(G,⋅),(G′,∗),f ff是G GG到G ′ G'G′的一个映射，满足f ( a ⋅ b ) = f ( a ) ∗ f ( b ) , f(a·b)=f(a)*f(b),f(a⋅b)=f(a)∗f(b),称f ff为G GG到G ′ G'G′的一个同态，记作G ∼ G ′ G\sim G'G∼G′
单同态：如果f ff是单射，那么f ff是单同态
满同态：如果f ff是满射，那么f ff是满同态
同构：如果f ff是双射，那么f ff是同构
- I m ( f ) = f ( G ) = { f ( a ) ∣ a ∈ G } , I m ( f ) ≤ G , Im(f)=f(G)=\{f(a)|a\in G\},Im(f)\le G,Im(f)=f(G)={f(a)∣a∈G},Im(f)≤G,如果I m ( f ) = G ′ Im(f)=G'Im(f)=G′,则f ff是满同态；
- k e r ( f ) = { a ∣ a ∈ G , f ( a ) = e ′ } , k e r ( f ) ◃ G , ker(f)=\{a|a\in G,f(a)=e'\},ker(f)\triangleleft G,ker(f)={a∣a∈G,f(a)=e′},ker(f)◃G,如果k e r ( f ) = { e } , ker(f)=\{e\},ker(f)={e},则f ff是单同态；所有kernel都是正规子群，所有正规子群都是某个映射的kernel
证明k e r ( f ) ◃ G : ker(f)\triangleleft G:ker(f)◃G:
令H = k e r ( f ) , H=ker(f),H=ker(f),则要证的就是a H = H a , ∀ a ∈ G , aH=Ha,\forall a \in G,aH=Ha,∀a∈G,即a H a − 1 ⊂ H aHa^{-1}\subset HaHa−1⊂H
f ( a H a − 1 ) = f ( a ) ∗ f ( H ) ∗ f ( a − 1 ) = f ( a ) ∗ e ′ ∗ f ( a − 1 ) = f ( a ) ∗ f ( a − 1 ) = f ( a ⋅ a − 1 ) = f ( e ) f(aHa^{-1})\\ =f(a)*f(H)*f(a^{-1})\\ =f(a)*e'*f(a^{-1})\\=f(a)*f(a^{-1})\\=f(a·a^{-1})\\=f(e)f(aHa−1)=f(a)∗f(H)∗f(a−1)=f(a)∗e′∗f(a−1)=f(a)∗f(a−1)=f(a⋅a−1)=f(e)
现在要求f ( e ) f(e)f(e)
假设a ∈ k e r ( f ) , a\in ker(f),a∈ker(f),
f ( a ⋅ e ) = f ( a ) ∗ f ( e ) f ( a ) = f ( a ) ∗ f ( e ) e ′ = e ′ ∗ f ( e ) f(a·e)=f(a)*f(e)\\ f(a)=f(a)*f(e)\\ e'=e'*f(e)f(a⋅e)=f(a)∗f(e)f(a)=f(a)∗f(e)e′=e′∗f(e)
对于G ′ G'G′中的单位元e ′ e'e′，任何数与单位元做运算都是该数本身，所以f ( e ) = e ′ f(e)=e'f(e)=e′
故f ( a H a − 1 ) = e ′ → a H a − 1 ⊂ k e r ( f ) = H , f(aHa^{-1})=e'\rightarrow aHa^{-1}\subset ker(f)=H,f(aHa−1)=e′→aHa−1⊂ker(f)=H,证毕。
- 自然同态normal homomorphism：N ◃ G N\triangleleft GN◃G，f : G → G / N f:G\rightarrow G/Nf:G→G/N是满同态，f ( g ) = g N f(g)=gNf(g)=gN，称自然同态。
第一同构定理：f = σ φ ， σ f=\sigma\varphi，\sigmaf=σφ，σ为同构。
条件1：f : G → G ′ f:G\rightarrow G'f:G→G′是一个满同态，
条件2：N = k e r ( f ) , N=ker(f),N=ker(f),
则G / N ≅ G ′ 。 G/N\cong G'。G/N≅G′。即σ \sigmaσ为同构，f = σ φ 。 f=\sigma\varphi。f=σφ。
证明：
要证σ \sigmaσ是同构的，即证同态+单同态+满同态。因为G / N = { g N ∣ g ∈ G } , φ : G → G / N , G/N=\{gN|g\in G\},\varphi:G\rightarrow G/N,G/N={gN∣g∈G},φ:G→G/N,即φ ( g ) = g N ; f : G → G ′ , \varphi(g)=gN;f:G\rightarrow G',φ(g)=gN;f:G→G′,即f ( g ) = g ′ , g ′ ∈ G ′ ; σ : G / N → G ′ , f(g)=g',g'\in G';\sigma:G/N\rightarrow G',f(g)=g′,g′∈G′;σ:G/N→G′,即σ ( g N ) = g ′ , g ′ ∈ G ′ 。 \sigma(gN)=g',g'\in G'。σ(gN)=g′,g′∈G′。所以我们定义σ ( g N ) = f ( g ) , g ∈ G 。 \sigma(gN)=f(g),g\in G。σ(gN)=f(g),g∈G。
同态：
- 一个映射：要证a N = b N → σ ( a N ) = σ ( b N ) ： a N = b N → a − 1 b N = N → a − 1 b ∈ N → f ( a − 1 b ) = 1 G → f ( a − 1 ) ∗ f ( b ) = 1 G → f ( a − 1 ) − 1 = f ( b ) → f ( a ) = f ( b ) → σ ( a N ) = σ ( b N ) aN=bN\rightarrow \sigma(aN)=\sigma(bN)：\\aN=bN\\\rightarrow a^{-1}bN=N\\\rightarrow a^{-1}b\in N\\\rightarrow f(a^{-1}b)=1_G\\\rightarrow f(a^{-1})*f(b)=1_G\\\rightarrow f(a^{-1})^{-1}=f(b)\\\rightarrow f(a)=f(b)\\\rightarrow \sigma(aN)=\sigma(bN)aN=bN→σ(aN)=σ(bN)：aN=bN→a−1bN=N→a−1b∈N→f(a−1b)=1G→f(a−1)∗f(b)=1G→f(a−1)−1=f(b)→f(a)=f(b)→σ(aN)=σ(bN)
- 保持运算：要证σ ( a N ⋅ b N ) = σ ( a N ) ∗ σ ( b N ) ： σ ( a N ⋅ b N ) = σ ( a b N ) = f ( a b ) = f ( a ) ∗ f ( b ) = σ ( a N ) ∗ σ ( b N ) \sigma(aN·bN)=\sigma(aN)*\sigma(bN)：\\\sigma(aN·bN)\\=\sigma(abN)\\=f(ab)\\=f(a)*f(b)\\=\sigma(aN)*\sigma(bN)σ(aN⋅bN)=σ(aN)∗σ(bN)：σ(aN⋅bN)=σ(abN)=f(ab)=f(a)∗f(b)=σ(aN)∗σ(bN)
单同态：要证单同态，即证k e r ( σ ) = e = N ker(\sigma)={e}=Nker(σ)=e=N(因为G / N G/NG/N的单位元为N NN)。
对任意a N ∈ k e r ( σ ) , aN\in ker(\sigma),aN∈ker(σ),有σ ( a N ) = f ( a ) = e ′ , \sigma(aN)=f(a)=e',σ(aN)=f(a)=e′,故a ∈ k e r ( f ) = N , → a N = N , a\in ker(f)=N,\rightarrow aN=N,a∈ker(f)=N,→aN=N,故k e r ( σ ) = N ker(\sigma)=Nker(σ)=N
- 满同态：要证满同态，即证I m ( σ ) = G ′ Im(\sigma)=G'Im(σ)=G′，对∀ a ′ ∈ G ′ , \forall a'\in G',∀a′∈G′,有σ ( a N ) = a ′ \sigma(aN)=a'σ(aN)=a′
对于G ′ G'G′中任意元素a ′ a'a′,由于f ff是满同态，有f ( a ) = a ′ f(a)=a'f(a)=a′存在，所以有相应的a N aNaN存在，即σ ( a N ) = a ′ \sigma(aN)=a'σ(aN)=a′,所以σ \sigmaσ也是满同态。