预推免之数论与组合数学(一)

一、算数基本定理

任何一个大于1的自然数N,如果N不为质数，那么N可以唯一分解成有限个质数的乘积

?1不是素数

二、剩余类

1、剩余类

设模为n，则根据余数可将所有的整数分为n类，把所有与整数a模n同余的整数构成的集合叫做模n的一个剩余类

【例】5的剩余类：

<$Mo{d}_5$=0>：{0,5,10,……}

<$Mo{d}_5$=1>：{1，6，11……}

2、完全剩余系

从模n的每个剩余类中各取一个数，得到一个由n个数组成的集合，叫做一个模n的完全剩余系

3、简化剩余系

n的完全剩余系中与n互素的数构成的子集

【例】n=10

完全剩余系：{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}

简化剩余系：{1，3，7，9}

三、欧拉定理

1、欧拉定理定义

如果正整数 n 和整数 a 互质，那么就有$a^{\phi (n)}\equiv 1$ mod n
其中欧拉函数$\phi (n)$ 是「小于 n 的正整数中和 n 互质的数」的个数（$\phi (1)=1$)

如果n为素数，$\phi (n)=n-1$

如果$n=p^k$(p为素数)，则$\phi (p^k)=p^k-p^{k-1}$

如果p，q互质，则$\phi (pq)=\phi (p)\phi (q)$

$n=p_1^{k_1}{p}_2^{k_2}\dots \dots p_r^{k_r}$，其中$p_1,p_2\dots \dots p_r$为质数

则$\phi (n)=n{\sum }_{i=1}^r(1-\frac{1}{p_i})$

【例】$\phi (100)=100(1-\frac{1}{2})(1-\frac{1}{5})=40$

2、欧拉定理的应用

求正整数$3^{83}$的最后两位数

$\phi (100)=40$ 并且3和100互素，所以$3^{40}=1$ (mod 100)

$3^{83}=3^3\times (3^{40}{)}^2\equiv 27(mod100)$

四、逆元

1、逆员的定义

如果gcd(a,m)=1且a×b≡1 (mod m)，那么b为a的逆员

2、逆员的应用

当求解公式：(a/b)%m 时，因b可能会过大，会出现爆精度的情况，所以需变除法为乘法

设b是a的逆元，则有a*b≡1(mod m)；

则(a/b)%m = (a/b)×1%m = (a/b)×b×c%m = a*c(mod m);

即a/b的模等于a*(b的逆元)的模；

3、求逆元

（1）欧几里得扩展算法

裴蜀定理：存在整数 x，y 使得 $gcd(a,b)=ax+by$

当$gcd(a,b)=1$，即a,b互素时，$ax+by=1$中的解x是a模b的乘法逆员，即$a\ast x\equiv 1$ mod b

（2）费马小定理

如果p是质数，则$a^{p-1}\equiv 1$ $mod$ $p$，则$a^{p-2}$ mod p为a的逆员

五、威尔逊定理

当且仅当p为素数时，$(p-1)!\equiv -1$ mod p

六、中国剩余定理

问题

已知：

​ $x\equiv a_1$ mod $m_1$

​ $x\equiv a_2$ mod $m_2$

​ ……

​ $x\equiv a_k$ mod $m_k$

求x

解决方法

已知:

x≡5 mod 7

x≡3 mod 11

x≡10 mod 13

$x=\sum a_i{M}_i{y}_i$ mod $(\prod m_i)$=(5×143×5+3×91×4+10×77×12) mod (7×11×13) = 13907 mod 1001 =894