算法题之-变态跳台阶 第三天(2019/5/31)

1.题目描述

一只青蛙一次可以跳上1级台阶，也可以跳上2级……它也可以跳上n级。求该青蛙跳上一个n级的台阶总共有多少种跳法。

2.解题思路

f(1) = 1
f(2) = f(2-1) + f(2-2)        
f(3) = f(3-1) + f(3-2) + f(3-3) 
...
f(n) = f(n-1) + f(n-2) + f(n-3) + ... + f(n-(n-1)) + f(n-n) 

因为青蛙可以跳上任意级的台阶，所以以青蛙跳上一个 4 级的台阶为例进行分析，它可以在开始直接跳 4 级到 4 级台阶，也可以从 1 级台阶上往上跳 3 个台阶到 4 级，也可以从 2 级台阶往上跳 2 个台阶到 4 级，还可以从 3 级台阶上跳 3 级到 4 级。所以f(4) = f(4-1) + f(4-2) + f(4-3) + f(4-4)
可以得出以下的公式：

f(n) = f(n-1)+f(n-2)+...+f(n-(n-1)) + f(n-n) 
=> f(0) + f(1) + f(2) + f(3) + ... + f(n-1)

又因为：

f(n-1) = f(0) + f(1)+f(2)+f(3) + ... + f((n-1)-1) 
       = f(0) + f(1) + f(2) + f(3) + ... + f(n-2)
f(n) = f(0) + f(1) + f(2) + f(3) + ... + f(n-2) + f(n-1) = f(n-1) + f(n-1)
     = 2 * f(n-1)

最后可以得到

f(n) = 1, (n=0)
f(n) = 1, (n=1)
f(n) = 2*f(n-1),(n>=2)

3.代码参考

public class 变态跳台阶 {
	/**
	 * 一只青蛙一次可以跳上1级台阶，也可以跳上2级……它也可以跳上n级。
	 * 求该青蛙跳上一个n级的台阶总共有多少种跳法。
	 * 分析：
	 * 	n=1时，f(1) = 1
	 * 	n=2时，f(2) = f(2-1) + f(2-2)
	 * 	n=3时，f(3) = f(3-1) + f(3-2) + f(3-3)
	 *  n时，      f(n) = f(n-1) + f(n-2) ... f(n-n) =2*f(n-1)
	 *    
	 */
	public int f(int n){
		if(n <= 0){
			return 0;
		}
		if(n == 1 || n == 2){
			return n;
		}
		return 2*f(n-1);
	}
}