幂级数收敛

幂级数收敛求收敛半径一般是$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{a_{n+1}}{a_n}=p,r=\frac{1}{p}$或者开n次以后求极限。

但是对于抽象幂级数，可能先凑出一个半径，然后用幂级数性质说明

x=1的时候条件收敛，若x>1也收敛，则阿贝尔定理可知，x=1处绝对收敛，矛盾

第二题看起来用求和函数的方法可以处理，但是最后还是无法下手。

应该运用逐项求导，收敛区间不变的性质，直接得到收敛区间

有三角的无穷积分，也可能变成1到无穷的求和，每一个求和里是$n\pi$到$(n+1)\pi$就行了

数列的收敛

开方（柯西判别法）放缩（优级数判别法）比式判别法，莱布尼茨判别法（正负），阿贝尔判别法（数列单调有界，级数收敛），狄利克雷判别法（数列单调趋于0，级数有界）

A.$a_n$单调有界，由阿贝尔判别法，要求级数收敛。但是1/n级数发散

B.莱布尼茨判别法条件是：单调趋于0，所以这个不收敛

C.an单调有界，所以有极限，求和以后收敛

D.提出an,然后放缩求和，发现收敛（但是重点是没说是正项数列，所以不能放缩）

注意没说正项级数要小心

反常积分

1. 首先看瑕点
2. 首先乘$x^p$然后根据x的幂次和p的大小分类，找出p的范围，如果不是x的幂次，那就考虑影响最大的部分

3. sin什么的放缩掉:x趋于无穷的时候放缩成1，x趋于0的时候放缩成x,如果发散放缩成${\sin }^2$，然后倍角公式

首先乘$x^p$，发现不是直接是x的幂次，那么瑕积分的时候，$(1+x{)}^b$根本没什么用，可以不管

就是$x^{p-a}$，收敛条件是p-a>0,p<1，结果是a<1,然后无穷积分的时候,$(1+x{)}^b$变成了$x^b$，就是p-a-b<0,p>1,结果就是a+b>1

隐函数组部分

1. 换微分变量

1. 只能换一阶的微分方程，大于一阶的先算出一阶的，然后找关系，再在关系的基础上再次求导。比如本来有关于$f_x(x,y),f_y(x,y)$的式子，要求换成$u(x,y),v(x,y)$为变量的，则将原式对$x,y$进行求导，然后解出$f_v,f_u$的关系即可。

2. 最好先计算一下雅可比行列式，看看是否可逆（不为0就是可逆）

3. 对于某个变量的一阶偏导仍然是二元函数，对它求导的时候和对原函数求导是相同的

（1）这个例子是一阶最常见形式

​

(2) 这个例子是二阶的形式

需要注意的是，对于${\varphi }_u,{\varphi }_v$仍然是$u,v$的函数，对$x,t$求导的时候会出现四个部分

（3）一个一阶的式子

2.隐函数成立的条件

条件有4个，结果是确定唯一连续的隐函数，添加上最后一个条件，存在连续的导函数：

1. 函数$F(x,y)$连续
2. $F(x_0,y_0)=0$
3. 某一个偏导数$F_x(x,y)$连续
4. $F_x(x_0,y_0)\ne 0$
5. $F_y$连续

例题（1）:看起来就很复杂，其实分析一下就知道是隐函数的题。注意到是，对含变量的积分另一个变量求导，可以先求导再积分

请证明：存在⼀个可微函数$y=f(x)$，满足${\int }_0^y\frac{\ln (1+xu)}{1+u^2}du=y$, 并给出 $f^{\prime }(x)$.

泰勒公式

积分计算部分

1. 计算二维曲线积分

1. 二维的曲线积分如果已知路径用换元做

2. 出现没有给定路径的曲线积分一般要用到green公式：$\underset{D}{\iint }(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y})dxdy=\underset{\varphi }{\int }Pdx+Qdy$

3. 格林公式不要背错了

4. 如果曲线不封闭，必须将其补成封闭的才可以

5. 补上去的第二型曲线积分可以用换元法来做

(1)补上的部分正常用换元做

(2)没有告诉积分路径，很明显用green公式做。只要公式别背错。

（3）green公式的利用

2.计算三维曲线积分

1. 如果可以参数化的话也可以选择参数化。
2. 一般用斯托克斯公式（就是三维的green公式）对曲线的要求也是闭合。$\underset{S}{\iint }\left|\begin{array}{ccc}dydz& dxdz& dxdy\\ \frac{\partial }{\partial x}& \frac{\partial }{\partial y}& \frac{\partial }{\partial z}\\ P& Q& R\end{array}\right|=\underset{L}{\oint }Pdx+Qdy+Rdz$
3. 之后可以参照如何计算曲面积分，注意曲面的侧正负由曲线的方向用右手法则确定

例题(1) 很细节的地方在与其中的一部分由于积分区域是0所以结果是0，中间一部分由于积分区域关于$x$对称，所以积分结果是$0$，注意高次三角函数怎么计算的，二元积分用极坐标换元的时候注意$r$不要忘记了

这是第二种做法，更加常用一点

积分区域表示的只是积分变量的范围，当积分变量改变时，积分区域的表示方式也改变

例题（2）

设?为上半球⾯$x^2+y^2+z^2=4,z\ge 0$ 在柱面 $x^2+y^2=2x$内的部分，$L$ 为其外侧的正向边界，计算曲线积分 $\underset{L}{\oint }(y^2+z^2)dx+(z^2+x^2)dy+(x^2+y^2)dz$

由于这个具有高度对称性，所以可以用另一种方法，即转化为第一型曲线积分的方法做。先计算出曲面的方向余弦，就是三个偏导再单位化一下，正负根据曲面的侧来确定，然后用斯托克斯公式转化成第二型曲面积分，然后转为第一型，转化方法为$dydz=ds\cos \alpha ,dxdz=ds\cos \beta ,dxdy=\cos \gamma$，结果约为0

3. 计算曲面积分

1. 首先看每一项是不是$0$，比如$Pdydz$，需要考察正负的东西有两个：$P$在该点的正负和该点处曲线的法向量是不是和正方向相同。考察关于$yz$对称的两点，看看能不能抵消掉。
2. 如果有些项不能抵消掉，那么可以把$P(x,y,z)dydz$中$x$（如果有的话）用$y,z$换掉，然后直接在$yz$投影上计算。
3. 另外注意的是积分$\underset{D_{xy}}{\iint }xdxdy$如果$D_{xy}$关于$y$轴左右对称，那么结果就是$0$,$dxdy$算的是面积的积分，怎么算都是正的
4. 如果2的方法十分麻烦的话，用高斯公式转化为三重积分。
5. 高斯公式$\underset{S}{\int }Pdydz+Qdxdz+Rdxdy=\underset{V}{\iiint }(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z})dxdydz$
6. 如果立体不封闭，一定要封闭

(1)注意点：球面$dzdx.dzdy$平面四分之一为正，四分之一为负，所以刚好抵消掉了。球坐标换元要牢记公式。不要忘记补为封闭的图形。

4. 计算三重积分

1. 球坐标换元：$x=r\sin \varphi \cos \theta ,y=r\sin \varphi \sin \theta ,z=r\cos \varphi ,J=r^2\sin \varphi$，注意的是$\theta ,\varphi$的顺序不能搞错
2. 先一后二还是先二后一的选取：一般是投影到一个平面上，先把$z$积出来。先二后一就是先算面积分然后再积$z$，一般来说是函数只与$z$相关的时候积的
3. 上限与其他变量相关的一定要先积出来

5.计算二重积分

1. 二重积分一般换元：$\underset{D}{\iint }f(x,y)dxdy=\underset{\Delta }{\iint }f(x(u,v),y(u,v))\frac{\partial (x,y)}{\partial (u,v)}dudv$
2. 圆坐标换元$x=r\sin \theta ,y=r\cos \theta ,J=r$注意一定不要忘记多乘一个$r$

例题(1)要注意函数行列式的计算

设 $D=(x,y)\mid x+y\le 1,0\le y\le x$. 计算⼆重积分 $\underset{D}{\iint }{e}^{\frac{x}{x+y}}dxdy$,

曲线积分->格林公式/斯托克斯公式转换为曲面积分->高斯公式转化为体积分