陶哲轩实分析 7.3 节习题试解

7.3.1 用命题 7.3.1 证明推论 7.3.2

设 $\sum_{n=m}^{\infty} a_n$和 $\sum_{n=m}^{\infty} b_n$是两个实数的形式级数，并且对于一切 $n \geq m$有 $|a_n| \leq b_n$，如果 $\sum_{n=m}^{\infty} b_n$是收敛的，那么 $\sum_{n=m}^{\infty} a_n$绝对收敛，并且

$$\left| \sum_{n=m}^{\infty} a_n \right| \leq \sum_{n=m}^{\infty} |a_n| \leq \sum_{n=m}^{\infty} b_n$$

因为 $\sum_{n=m}^{\infty} b_n$收敛，所以存在一个 $M$满足对于一切的 $N \geq m$，有

$$

\sum_{n=m}^{N} b_n \leq M
$$

所以

$$\sum_{n=m}^{N} a_n \leq \sum_{n=m}^{N} |a_n| \leq \sum_{n=m}^{N} b_n \leq M$$

所以 $\sum_{n=m}^{\infty} a_n$绝对收敛。
所以

$$\left| \sum_{n=m}^{\infty} a_n \right| \leq \sum_{n=m}^{\infty} |a_n|$$

设 $S_a(N) = \sum_{n=m}^{N} |a_n|$，$S_b(N) = \sum_{n=m}^{N} b_n$。
数学归纳法可证对任意的 $N \geq m$都有

$$S_a(N) \leq S_b(N)$$

所以

$$\lim_{N \rightarrow \infty}S_a(N) \leq \lim_{N \rightarrow \infty}S_b(N)$$

所以

$$\sum_{n=m}^{\infty} |a_n| \leq \sum_{n=m}^{\infty} b_n$$
所以
$$\left| \sum_{n=m}^{\infty} a_n \right| \leq \sum_{n=m}^{\infty} |a_n| \leq \sum_{n=m}^{\infty} b_n$$

7.3.2 证明引理 7.3.3

设 $x$是实数，如果 $|x| \geq 1$，那么级数 $\sum_{n=0}^{\infty} x^n$是发散的。但是如果 $|x| < 1$，那么此级数是绝对收敛的，并且

$$\sum_{n=0}^{\infty} x^n = \frac{1}{1-x}$$

（1）如果 $|x| \geq 1$，那么 $|x^n| \geq 1$所以 $(x^n)_{n=0}^{\infty}$发散，所以级数 $\sum_{n=0}^{\infty} x^n$是发散的。
（2）如果 $|x| < 1$，设 $S_N=\sum_{n=0}^{N} |x|^n$，那么有

$$S_N = \frac{1-|x|^{N+1}}{1-|x|}$$

$$\lim_{N \rightarrow \infty } S_N = \lim_{N \rightarrow \infty } \frac{1-|x|^{N+1}}{1-|x|} = \frac{1}{1- |x|}$$
所以此级数绝对收敛。

设级数的部分和 $T_N=\sum_{n=0}^{N} x^n$，那么有

$$T_N = \frac{1-x^{N+1}}{1-x}$$

$$\lim_{N \rightarrow \infty } T_N = \lim_{N \rightarrow \infty } \frac{1-x^{N+1}}{1-x} = \frac{1}{1- x}$$

所以有

$$\sum_{n=0}^{\infty} x^n = \frac{1}{1-x}$$

7.3.3 设 $\sum_{n=0}^{\infty} a_n$是绝对收敛的级数，使得 $\sum_{n=0}^{\infty} |a_n| = 0$。证明对于每个自然数 $n$有 $a_n = 0$

数学归纳法

先证明 $a_0 = 0$

$$\sum_{n=0}^{\infty} |a_n| = |a_0| + \sum_{n=1}^{\infty} |a_n| = 0$$

$$\sum_{n=1}^{\infty} |a_n| \geq \left| \sum_{n=1}^{\infty} a_n \right| \geq 0$$

所以

$$0 = |a_0| + \sum_{n=1}^{\infty} |a_n| \geq |a_0| + \left| \sum_{n=1}^{\infty} a_n \right|$$

所以

$$a_0 = 0$$

假设当$0 \leq n \leq m$时有 $a_n = 0$
那么当 $n = m+1$时，有

$$0=\sum_{n=0}^{\infty} |a_n| = \sum_{i=0}^{m}|a_i| + \sum_{n=m+1}^{\infty} |a_n| = \sum_{n=m+1}^{\infty} |a_n|$$
所以
$$\sum_{n=m+1}^{\infty} |a_n| = |a_{m+1}| + \sum_{n=m+2}^{\infty} |a_n| = 0$$

因为

$$\sum_{n=m+2}^{\infty} |a_n| \geq \left| \sum_{n=m+2}^{\infty} a_n \right| \geq 0$$

所以

$$a_{m+1} = 0$$
所以对每个自然数 $n$都有 $a_n = 0$