AcWing 99. 激光炸弹 (矩阵前缀和)

地图上有 N 个目标，用整数 Xi,Yi 表示目标在地图上的位置，每个目标都有一个价值 Wi。

注意：不同目标可能在同一位置。

现在有一种新型的激光炸弹，可以摧毁一个包含 R×R 个位置的正方形内的所有目标。

激光炸弹的投放是通过卫星定位的，但其有一个缺点，就是其爆炸范围，即那个正方形的边必须和 x，y 轴平行。

求一颗炸弹最多能炸掉地图上总价值为多少的目标。

输入格式

第一行输入正整数 N 和 R，分别代表地图上的目标数目和正方形的边长，数据用空格隔开。

接下来 N 行，每行输入一组数据，每组数据包括三个整数 Xi,Yi,Wi，分别代表目标的 x 坐标，y 坐标和价值，数据用空格隔开。

输出格式

输出一个正整数，代表一颗炸弹最多能炸掉地图上目标的总价值数目。

数据范围

0≤R≤10^9
0<N≤10000,
0≤Xi,Yi≤5000
0≤Wi≤1000

输入样例：

2 1
0 0 1
1 1 1

输出样例：

1

题解：

首先预处理出整个矩阵的前缀和O(n * n)：

for (int i = 1; i <= 5000; i ++) { // 求整个矩阵的前缀和 
		for (int j = 1; j <= 5000; j ++) {
			a[i][j] += a[i - 1][j] + a[i][j - 1] - a[i - 1][j - 1];
		}
	}

接着我们就可以在O(1)时间复杂度下算出每一个R x R子矩阵的和。

左上角坐标为(i - r, j - r), 右下角坐标为(i, j)的子矩阵和为：

a[i][j] - a[i - r][j] - a[i][j - r] + a[i - r][j - r]

枚举每一个R x R的子矩阵，计算矩阵和，记录并输出最大值即可。

AC代码:

#include <iostream>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N = 5e3 + 5;
int a[N][N];
int main() {
	ios::sync_with_stdio(false);
	int n, r;
	cin >> n >> r;
	r = min(5001, r); // 如果炸弹半径大于5001则取整个地图即可 
	while (n --) {
		int x, y, w;
		cin >> x >> y >> w;
		a[x + 1][y + 1] += w;
	}
	for (int i = 1; i <= 5001; i ++) { // 求整个矩阵的前缀和 
		for (int j = 1; j <= 5001; j ++) {
			a[i][j] += a[i - 1][j] + a[i][j - 1] - a[i - 1][j - 1];
		}
	}
	int mx = -1;
	for (int i = r; i <= 5001; i ++) { // 枚举每一个R x R的子矩阵，计算矩阵和 
		for (int j = r; j <= 5001; j ++) {
			mx = max(mx, a[i][j] - a[i - r][j] - a[i][j - r] + a[i - r][j - r]); // 记录最大值 
		}
	}
	cout << mx << '\n';
	return 0;
}