课程名：近世代数
授课老师：冯荣权
双学位课程，难度较小。数院的同类课程叫抽象代数。群论在各个领域都有应用，这里学的群论还是太抽象了，不很实用。冯老师讲课时尽量举例，但终究还只是数学的例子。CS专业的同学学离散数学也有群论的章节，在固体物理和量子力学中，描述对称性的语言还是群论。所以当郭弘问我学的是是不是李群时，我慌乱不知所措——近世代数课上并没有提到李群的概念，说起来是一件很遗憾的事。

运算系统

运算：集合上的代数运算是一个对应法则，使得对集合中的任意两个元素在集合中都有唯一的元素与其对应。
代数系统：非空集合，在其中定义了运算，满足一些运算法则（公理），得到一种代数运算系统。
定理：广义结合律。
单位元： $\forall a\in A,ea=ae=a$ 。单位元若存在，则一定唯一。
逆元：唯一性， $(ab)^{−1}=b^{−1}a^{−1}$

群的概念

半群：非空集合上，一个代数运算，满足结合律。比如正整数加法。
幺半群：有单位元的半群。比如自然数加法。
群：每一个元都有逆元的幺半群。比如整数加法。整数加法构成群，乘法只构成幺半群。群都满足消去律。
交换群：满足交换律的群，也叫阿贝尔群。运算为加法时， $\mathbb{Q},\mathbb{R},\mathbb{C}$ 都是交换群；为乘法时， $\mathbb{Q},\mathbb{R},\mathbb{C}$ 去掉0才是交换群。

映射

映射：对应。单射、满射、双射。有合成的运算。合成满足结合律。
变换：到自身的映射。
集合上的映射的集合 $T_M$ 在映射的乘法（合成）下构成幺半群。全体可逆变换 $S_M$ 构成群。
置换：有限元集合上到自身的双射。所有 $n$ 元置换 $S_n$ 在置换乘法下构成群，称为对称群。个数 $n!$ ，有限群。

环和域的概念

环：非空集合，两种运算，加法做成交换群，乘法做成幺半群，满足乘法分配律。方幂的乘积不等于乘积的方幂。
除环：加法做成交换群，乘法去掉0做成群。至少可以有一个元素，零环。没有零因子
零因子：不是0，和非零元素相乘得到0。
整环：没有零因子的交换环。
域：交换除环。至少有两个元素。 $(F,+)$ 构成交换群， $(F*,\cdot)$ 构成交换群。

对称群

对称群：有限元集合上到自身的双射。所有n元置换 $S_n$ 在置换乘法下构成的群。
表示：
$σ = (1 σ (1) 2 σ (2) \dots \dots n σ (n))$ $\sigma= \begin{pmatrix}1&2&\cdots&n\\ \sigma(1)&\sigma(2)&\cdots&\sigma(n) \end{pmatrix}$
或
$σ = (l 1 σ (l 1) l 2 σ (l 2) \dots \dots l n σ (l n))$ $\sigma= \begin{pmatrix}l_1&l_2&\cdots&l_n\\ \sigma(l_1)&\sigma(l_2)&\cdots&\sigma(l_n) \end{pmatrix}$
$n$ 元置换的个数与 $n$ 元排列个数一样，都是 $n!$
奇置换：逆序数为奇数的置换。
偶置换：逆序数为偶数的置换。
对换：两个元素互换，其他元素不变的置换。表示：( $l_il_j$ )
任一置换都可以表示成对换的乘积。
交错群： $n$ 元偶置换对于置换乘法做成的群。记为 $A_n$ , $|A_n|=\dfrac 12n!$
轮换： $k$ 个元素循环，其他元素不变的置换。对换是长度为 $2$ 的轮换。恒等变换时长度为 $1$ 的轮换。表示：( $\alpha_1\alpha_2\cdots\alpha_k$ )
定理： $n$ 元置换可以分解为不相交的轮换之积，若不计轮换因子的次序，则分解式是唯一的。
先把 $n$ 元置换写成轮换的乘积，再把每个轮换写成对换，就可以把置换写成对换的乘积。
长度为奇数的轮换是偶置换，长度为偶数的轮换是奇置换。
共轭：对于 $\rho,\sigma\in S_n$ ，称 $\rho\sigma\rho^{-1}$ 为用 $\rho$ 对 $\sigma$ 做共轭变换，也称 $\rho\sigma\rho^{-1}$ 为 $\sigma$ 的共轭元。
性质：
$ρ σ ρ - 1 = (ρ (x) ρ (σ (1)) ρ (2) \dots ρ (n) ρ (σ (2)) \dots ρ (σ (n)))$ $\rho\sigma\rho^{-1}=\begin{pmatrix}\rho(x)&\rho(2)\cdots\rho(n)\\\rho(\sigma(1))&\rho(\sigma(2))\cdots\rho(\sigma(n))\end{pmatrix}$
k长轮换的共轭元仍为k长轮换。
置换的型：长度为i的轮换的个数的有序数组。 $\sum_{i=1}^nil_i=n$
定理 :共轭的两个置换的型相同，反之亦然。
$S_3$ 是最小的非交换群。

子群

子群：群的非空子集对群的运算构成的群，记作 $H \leqslant G$
子群的充要条件：运算封闭；单位元是原来单位元；逆元是原来逆元。（第二条可以去掉），或等价于对任意的 $a,b,ab^{-1}\in H$ ，在加群表示下等价于对集合对减法封闭。
子群的单位元就是群的单位元。 $e_He_H=e_H=e_Ge_H$ ，由消去律得 $e_G=e_H$
生成子群：包含群的一个非空子集的所有子群的交。
$⟨ S ⟩ = {\prod i = 1 k s m i i | s i \in S, k \in N, m i \in Z}$ $\langle S\rangle=\{\prod_{i=1}^{k}s_i^{m_i}|s_i\in S,k\in \mathbb N,m_i\in \mathbb Z\}$
循环子群：如果 $S=\{a\}$ ，则记 $\langle S \rangle =M\langle a \rangle$ ,称 $\langle s \rangle$ 为 $G$ 的循环子群， $⟨ a ⟩ = {a m | m \in Z}$ $\langle a \rangle=\{a^m|m\in \mathbb Z\}$
循环群：一个元通过方幂生成的群。
生成元：
例子： $U_n$ ，整数加群
有限生成群

同态和同构

同态：群到群保持运算的一个映射。
所谓保持运算，即 $\sigma(g_1)\sigma(g_2)=\sigma(g_1g_2)$
同构：双射的同态。记号 $\cong$
自同构：通过共轭作用到自身的同构。
内自同构：到自身的同构。
满同态：满射的同态。比如整数加法群到循环群的映射 $a^k$ 。
同态的性质
- 单位元的像等于像中的单位元
- 逆元的像等于像的逆元
- 定义子集的像，子集的原像
- 子群的像是像的子群
- 子群的原像是原像的子群
- 核：像等于单位元的元素的集合（子群）
- 单同态等价于核为 $\{e\}$ ，满同态等价于像等于全集
- 单位元的像是单位元，但是单位元的原像不一定是单位元，是核。

群在集合上的作用

群在集合上的作用：群和集合中元素 $m$ 运算得到集合中元素
性质：
1. $e \circ m=m$
2. $g_1\circ (g_2\circ m)=(g_1g_2)\circ m$
3. 对矩阵做初等变换、合同变换，都是 $GL_n(F)$ 对 $M_n(F)$ 的作用。
4. 子群在群上的左乘、右乘、共轭作用。
5. 命题：群在集合上存在群作用等价于群到集合的全变换群存在群同态。
6. Cayley定理：群都同构于 $G$ 上全变换群 $S_M$ 的一个子群。
7. 内自同构：群在自身的（共轭）作用，本身是一个双射，又保持运算，所以是同构。
8. 所有的自同构是群 $Aut(G)\leqslant S_G$
9. 内自同构也成群。 $I(G)\leqslant S_G$

等价关系

二元关系：每个二元有序数对都可以确定是否适合的一个法则。
等价关系：满足反身性、对称性、传递性的关系。
等价类：集合上与一个元素等价的元素的子集。
性质：
1. 若两个元素等价，则两个元素的等价类相同
2. 两个元素的等价类要相等，要么不相交
3. 等价类的代表元集的所在等价类的无交并是全集

群作用的轨道

轨道： $x$ 在 $G$ 作用下的轨道，即 $G$ 中元素作用在 $x$ 上能得到的所有元素的集合，是 $M$ 的子集。
$x$ 和轨道中的元素是一种等价关系，即轨道是一个等价类。
$x$ 和 $y$ 在同一个轨道中的充要条件是 $Hx=Hy,y\in Hx,yx^{-1}\in H$
$G$ 为有限群， $H$ 是 $G$ 的子群，则 $H$ 在 $G$ 上有左乘和右乘作用。
陪集： $H$ 对 $G$ 的左乘作用的轨道得到右陪集，对 $G$ 的右乘作用的轨道得到左陪集。

Lagrange定理：

有限群的子群的阶整除全集的阶。 $|G|=s|H|$
指数：左陪集的个数和右陪集的个数相等，称为子群在群中的指数，记为 $[G:H]$ .
Lagrange定理： $[G:H], |G| = [G:H]|H|$
商集：陪集的集合，元素个数是 $[G:H]$ .
这里陪集和商集的概念和线性代数中的是一致的。

稳定化子

稳定化子：使集合中某个元素不变的所有 $G$ 中元素的集合。是 $G$ 的子群。
$G = ⋃ i = 1 k g i Stab G (x), g i \circ x = x i, x i \in O x$ $G=\bigcup_{i=1}^kg_i\text{Stab}_G(x),g_i\circ x=x_i,x_i\in O_x$
$|G|=|\text{Stab}_G(x)||O_x|,i.e.|O_x|=[G:\text{Stab}_G(x)]$
传递：如果群作用只有一个轨道，称作用是传递的。
$O_x=M$
如果 $G$ 传递作用在 $M$ 上，那么 $M$ 的阶整除 $G$ 的阶
$| M | = [G : Stab G (x)]$ $|M|=[G:\text{Stab}_G(x)]$

中心化子

共轭类：群在自身上作共轭作用的一个轨道。
$C x = {g x g - 1, g \in G}$ $C_x=\{gxg^{-1},g\in G\}$
中心化子： $x$ 在 $G$ 的作用下的稳定化子。
$C G (x) = {g \in G | g x g - 1 = x}$ $C_G(x)=\{g\in G|gxg^{-1}=x\}$
类长：共轭类中元的个数。
类方程：
$| G | = \sum C x i$ $|G|=\sum C_{x_i}$
中心：所有中心化子的交，即与 $G$ 中所有元素都可以交换的元素的集合
$y\in Z(G)$ 当且仅当 $C_y=\{y\}$
$|G|=|Z(G)|+\sum[G:C_G(y_i)]$
$p$ 群：阶为 $p$ 的方幂的群
$p$ 群的中心 $|Z(G)|$ 被 $p$ 整除， $|Z(G)\neq \{e\}|$
共轭子群 $gHg^{-1}$

循环群
由一个元素生成的群，如果任意两个方幂都不相等，则为无限群；如果有两个方幂相等，那么为有限群。
元素的阶：元素生成的循环子群的阶。 $\omicron(a)$
$\omicron(a)=n\Leftrightarrow a^n=e,a^{r}\neq e,0<r<n$
自然有限群中每一个元素的阶都有限（ $Lagrange$ 定理）
许多问题用带余除法证明
无限阶循环群和 $\mathbb Z$ 同构；无限阶循环群只有 $1$ 和 $-1$ 两个生成元 $(a,a^{-1})$
有限阶循环群和 $U_n$ 同构
设 $G= \langle a\rangle =\langle a^k\rangle$ ,则 $a=(a^k)^l=a^{kl}$ ，故 $a^{kl-1}=e, kl-1 = sn, kl-sn=1$ 等价于 $k$ 与 $n$ 互素 $(1\leq k\leq n-1)$ ，个数：欧拉 $\varphi(n)$
循环群的子群都是循环群。
无限循环群的子群都是无限循环群。
阶为n的循环群对n的每一个因子， $G$ 都有 $q$ 阶子群，并且唯一 $\langle a^{n/q}\rangle$ 。（这是循环子群的性质， $A_4$ 阶为 $12$ ，不存在 $6$ 阶的子群）
定理： $o(a)=n,o(a^k)=n/gcd(n,k)$
定理： $o(ab)=o(a)o(b)$ , 两者互素且 $a,b$ 交换
群的方次数：使群众每一个元素 $a^t=e$ 的最小的 $t$
交换群和循环群的关系
循环群是交换群
引理： $exp(G)=o(g)$
交换群是循环群当且仅当 $exp(G)=G$
素数阶群是循环群。 $o(g)=p$
域的乘法群的有限子群是循环群。
正规子群
集合的乘积
正规子群：左陪集也是右陪集的子群。
商群：正规子群的陪集的集合对陪集的乘积成的群。
单位元群和群G本身都是正规子群
交换群的子群都是正规子群
整数加法群的正规子群 $n\mathbb Z$ 和商群 $\mathbb Z/n\mathbb Z$ 。
单群
单群：没有非平凡的正规子群的群
有限单群的种类：素数阶循环群、 $A_n$ 交错群（ $n\geq5$ ）……
同态基本定理
自然同态：群到对它某个正规子群的商群的映射
同态基本定理：两个群及其之间的群同态的核实正规子群，且商群和同态像同构。
同态基本定理找出了群 $G$ 的所有可能的同态像，从同构的意义看，群 $G$ 的全部的同态像就是全部的商群。
参考书目:
石生明《近世代数初步》（第二版），高教出版社
Thanks To Prof. Rongquan Feng

原文链接：https://blog.csdn.net/u013795675/article/details/44997301