§1.6 行列式按行(列)展开
在n nn阶行列式中，把( i , j ) (i,j)(i,j)元a i j a_{ij}aij所在的第i ii行和第j jj列划去后，留下来的n − 1 n-1n−1阶行列式叫做( i , j ) (i,j)(i,j)元a i j a_{ij}aij的余子式。记作M i j M_{ij}Mij；记
A i j = ( − 1 ) i + j M i j , A_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij},Aij=(−1)i+jMij,
A i j A_{ij}Aij叫做( i , j ) (i,j)(i,j)元a i j a_{ij}aij的代数余子式。
引理
一个n nn阶行列式，如果其中第i ii行所有元素除( i , j ) (i,j)(i,j)元a i j a_{ij}aij外都等于零，那么这个行列式等于a i j a_{ij}aij与它的代数余子式的乘积，即
D = a i j A i j . D=a_{ij}A_{ij}.D=aijAij.
定理
(行列式按行(列)展开法则)行列式等于它的任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即
D = a i 1 A i 1 + a i 2 A i 2 + ⋯ a i n A i n    ( i = 1 , 2 , ⋯   , n ) , D = a_{i1}A_{i1}+a_{i2}A_{i2}+ \cdots a_{in}A_{in}\:\: (i = 1,2,\cdots,n),D=ai1Ai1+ai2Ai2+⋯ainAin(i=1,2,⋯,n),
或
D = a 1 i A 1 i + a 2 i A 2 i + ⋯ a n i A n i    ( i = 1 , 2 , ⋯   , n ) . D = a_{1i}A_{1i}+a_{2i}A_{2i}+ \cdots a_{ni}A_{ni}\:\: (i = 1,2,\cdots,n).D=a1iA1i+a2iA2i+⋯aniAni(i=1,2,⋯,n).
推论
行列式某一行(列)的元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘积之和等于零。即
a i 1 A j 1 + a i 2 A j 2 + ⋯ a i n A j n    ( i    j = 1 , 2 , ⋯   , n ,    i ≠ j ) = 0 , a_{i1}A_{j1}+a_{i2}A_{j2}+ \cdots a_{in}A_{jn}\:\: (i\:\: j= 1,2,\cdots,n,\:\: i\neq j)=0,ai1Aj1+ai2Aj2+⋯ainAjn(ij=1,2,⋯,n,i̸=j)=0,
或
a 1 i A 1 j + a 2 i A 2 j + ⋯ a n i A n j    ( i    j = 1 , 2 , ⋯   , n ,    i ≠ j ) = 0. a_{1i}A_{1j}+a_{2i}A_{2j}+ \cdots a_{ni}A_{nj}\:\: (i\:\:j = 1,2,\cdots,n,\:\:i\neq j)=0.a1iA1j+a2iA2j+⋯aniAnj(ij=1,2,⋯,n,i̸=j)=0.
性质
代数余子式的重要性质:
∑ k = 1 n a k i A k j = D δ i j = { D , 当 i = j 0 , 当 i ≠ j \sum^{n}_{k=1}{a_{ki}A_{kj}} = D\delta_{ij} = \left\{ \begin{array}{rcl} D,&&当i=j \\ 0,&&当i\neq j \\ \end{array} \right.k=1∑nakiAkj=Dδij={D,0,当i=j当i̸=j
或
∑ k = 1 n a i k A j k = D δ i j = { D , 当 i = j 0 , 当 i ≠ j \sum^{n}_{k=1}{a_{ik}A_{jk}} = D\delta_{ij} = \left\{ \begin{array}{rcl} D,&&当i=j \\ 0,&&当i\neq j \\ \end{array} \right.k=1∑naikAjk=Dδij={D,0,当i=j当i̸=j
其中
δ i j = { 1 , 当 i = j 0 , 当 i ≠ j . \delta_{ij} = \left\{\begin{array}{rcl} 1,&&当i=j \\ 0,&&当i\neq j \\ \end{array} \right..δij={1,0,当i=j当i̸=j.
《线性代数》同济大学第五版笔记