MATLAB - 矢量函数可视化

1、meshgrid函数

在利用MATLAB进行3D图形绘制时，往往需要一些采样点，然后根据采样点进行图形绘制。meshgrid函数是用于生成网格采样点的函数，示例如下：

x=-3:1:3; 
y=-2:1:2;
[X,Y]=meshgrid(x,y)

运行结果：

运行结果如图所示，这里meshgrid（x,y）的作用是分别产生以向量x为行，向量y为列的两个大小相同的矩阵。

2、quiver函数

quiver函数是MATLAB中使用箭头绘制二维矢量场的函数，使用该函数可以绘制矢量函数，基本格式为：quiver(x,y,u,v,scale) 该调用格式表示通过（x,y）指定的位置绘制小箭头来表示以该点为起点的向量（u,v），通过处处绘制箭头就得到了二维的矢量场，二维矩阵x,y,u,v具有一一对应的关系。scale表示箭头长度是否伸缩，等于0.5为缩短一半；等于2为长度扩大1倍；等于1则不做伸缩。示例如下

x = [0 0 0 0];
y = x;
u = [1 -1 0 0]; 
v = [0 0 1 -1];
quiver(x, y, u, v);

该程序是绘制4个矢量，起点均为（0,0）,分别指向（1,0）、（-1,0）、（0,1）、（0,-1）。运行结果：

可以看到并未完全指到对应的点，需要加入scale参数，将其设为1后结果如下

另有一种调用格式quiver(u,v)，作用是在xoy面上绘制向量(u,v)，由于没有指定向量的起点，所以在平面上均匀的取若干个格点作为起点。

u = [1 1 1; 1 1 1];
v = u;
quiver(u, v);

结果如下：

3、streamline函数

streamline函数是从二维或三维矢量数据中绘制流线的函数，两种使用基本格式如下：

（1）、streamline(x,y,u,v,startx,starty)

基于二维向量数据u,v绘制流线，定义矢量u，v的位置坐标x，y必须是单调的，但不需要间隔均匀，且x和y有相同数量的元素，startx和starty定义流线的起始位置。

（2）、streamline(x,y,z,u,v,w,startx,starty,startz)

该函数基于三维数据u，v，w绘制流线，示例如下

[x,y] = meshgrid(0:0.1:1,0:0.1:1);
u = x;
v = -y;
figure
quiver(x,y,u,v)                  %绘制箭头图
startx = 0.1:0.1:1;
starty = ones(size(startx));         %定义起点坐标
streamline(x,y,u,v,startx,starty)     %绘制流线图

运行结果：

4、矢量函数实例讲解

基于以上所介绍的相关函数，可以利用这些函数实现矢量函数的图形绘制。

（1）$u=y\ast cos(x)，v=y\ast sin(x)$图形

[x,y] = meshgrid(0:0.2:2,0:0.2:2);  	%生成所需的网格采样点，x与y在0到2区间，每隔
	                       	            %0.2取一个点，这样就在0到2中产生100个采样点
u = cos(x).*y;  	                    %定义u分量 
v = sin(x).*y;   	                    %定义v分量
quiver(x,y,u,v)                      	% 绘制二维矢量场图

这段代码直接给出矢量函数的两个分量，然后用箭头绘制出来，绘制结果如下：

（2）$u=cos(x+2\ast y)，v=sin(x-2\ast y)$图形

syms x y real	                        %定义符号变量x、y
F = [ cos(x+2*y), sin(x-2*y) ];	        %定义矢量函数
[X,Y]=meshgrid(-2:.25:2);	            %生成网格
Fxf = inline(vectorize(F(1)),'x','y');  %使用内联函数inline构造函数Fxf
Fyf = inline(vectorize(F(2)),'x','y');  %使用内联函数inline构造函数Fyf
Fx = Fxf(X,Y);                      	%计算网格数据对应的Fx的值
Fy = Fyf(X,Y);                      	%计算网格数据对应的Fy的值
quiver(X,Y,Fx,Fy,'k')               	%画出二维矢量场
axis tight;	                            %坐标轴范围与数据范围一致，紧凑模式	
set(gca,'position',[0 0 1 1])	        %去掉图像白边

这段代码使用了符号变量定义函数，将其离散化后绘制矢量图。结果如下：

（3）$z=y^2-x^2$三维图形

quiver3函数与quiver函数类似，可以绘制三维的矢量场图，代码如下：

[x,y]=meshgrid(-3:.5:3,-3:.5:3); 	%生成所需的网格采样点，x与y在-3到3区间
z=y.^2-x.^2;	                    %定义函数
[u,v,w]=surfnorm(z)  	            %取三维曲面的法线
quiver3(z,u,v,w)     	            %绘制三维矢量场图

结果如下：