四元数的基本概念
四元数是简单的超复数。 复数是由实数加上虚数单位 i 组成，其中i^2 = -1。 相似地，四元数都是由实数加上三个虚数单位 i、j、k 组成，每个四元数都是 1、i、j 和 k 的线性组合，即是四元数一般可表示为a + bi+ cj + dk，其中a、b、c 、d是实数。
运算关系如下： i^2 = j^2 = k^2 = -1， i^0 = j^0 = k^0 = 1，ij=k，ji=-k，jk=i，kj=-i，ki=j、ik=-j
四元数与旋转
四元数可以表达物体绕任意向量轴的旋转，并且和欧拉角度旋转与旋转矩阵的方法相比，其效率更高，操作也更灵活。
四元数的i、j、k的旋转几何意义如下：i旋转代表X轴与Y轴相交平面中X轴正向向Y轴正向的旋转，j旋转代表Z轴与X轴相交平面中Z轴正向向X轴正向的旋转，k旋转代表Y轴与Z轴相交平面中Y轴正向向Z轴正向的旋转，-i、-j、-k分别代表i、j、k旋转的反向旋转。
欧拉旋转需要计算3个旋转分量的作用之和，如下图（a），即沿Z轴的航线（Heading）角度，沿X轴的俯仰（Pitch）角度，以及沿Y轴的横滚（Roll）角度；而四元数只需要对旋转轴V和旋转角度进行设置，如下图（b）。
四元数旋转与欧拉旋转的对应关系：Heading角度与i旋转对应，Roll角度与j旋转对应，Pitch角度与k旋转对应
我们下面使用q = ((x, y, z)，w) = (v, w)，其中v是向量，w是实数，这样的式子来表示一个四元数。
首先，定义一个旋转轴为向量v=(vx, vy, vz)，旋转角度为θ（右手法则的旋转）；然后即可计算得到一个四元数q:
四元数的叠加效果:
定义四元数q1：旋转轴为v1，旋转角度为θ1；定义四元数q2：旋转轴为v2，旋转角度为θ2；定义四元数q3：旋转轴为v3，旋转角度为θ3；则旋转叠加效果为q，其中q=q1*q2*q3。
四元数的运算
定义两个四元数：
四元数加法：p + q
跟复数、向量和矩阵一样，两个四元数之和需要将不同的元素加起来。
四元数乘法：pq
两个四元数之间的非可换乘积通常被格拉斯曼（Hermann Grassmann）称为积，它的完整型态是︰
由于四元数乘法的非可换性，pq并不等于qp。格拉斯曼积常用在描述许多其他代数函数。qp乘积的向量部分是：
四元数点积： p · q
点积也叫做欧几里德内积，四元数的点积等同于一个四维向量的点积。点积的值是p中每个元素的数值与q中相应元素的数值的乘积的和。这是四元数之间的可换积，并返回一个标量。
点积可以用格拉斯曼积的形式表示：
这个积对于从四元数分离出一个元素有用。例如，i项可以从p中这样提出来：
四元数外积：Outer(p,q)
欧几里德外积并不常用； 然而因为外积和内积的格拉斯曼积形式的相似性，它们总是一同被提及：
四元数偶积：Even(p,q)
四元数偶积也不常用，但是它也会被提到，因为它和奇积的相似性。它是纯对称的积；因此，它是完全可交换的。
叉积：p × q
四元数叉积也称为奇积。它和向量叉积等价，并且只返回一个向量值：
四元数转置：p−1
四元数的转置通过
被定义。它定义在上面的定义一节，位于属性之下（注意变量记法的差异）。其建构方式相同于复倒数（complex inverse）之构造：
一个四元数的自身点积是个纯量。四元数除以一个纯量等效于乘上此纯量的倒数，而使四元数的每个元素皆除以此一除数。
四元数除法：p−1q
四元数的不可换性导致了
和
的不同。这意味着除非p是一个标量，否则不能使用q/p这一符号。
四元数纯量部：Scalar(p)
四元数的标量部分可以用前面所述的点积来分离出来：
四元数向量部：Vector(p)
四元数的向量部分可以用外积提取出来，就象用点积分离标量那样：
四元数模：|p|
四元数符号数：sgn(p)
一复数之符号数乃得出单位圆上，一个方向与原复数相同之复数。四元数的符号数亦产生单位四元数：
四元数辐角：arg(p)
幅角函数可找出一4-向量四元数偏离单位纯量（即：1）之角度。此函数输出一个纯量角度。
参考链接：
https://baike.baidu.com/item/%E5%9B%9B%E5%85%83%E6%95%B0/5795379?fr=aladdin
https://www.cnblogs.com/TIANHUAHUA/p/8031606.html
https://blog.csdn.net/allenjiao/article/details/83828021