r矢量球坐标系旋度_一般坐标系下的梯度散度旋度及拉普拉斯形式

最近在图书馆里看到一本书 Vector Calculus ,英文版的，我以四级还没过的英语水平连蒙带猜得看完了，书里有关在曲线坐标系下的微分算子形式的内容我觉得蛮有意识的，现在在这里进行一个整理。以下所讨论的都是三维空间下的坐标系。

（一）一般参考系

首先，对于一个矢量

，在笛卡尔坐标系下，有形式

, 那么，当我们选择另一个坐标系时，该式矢量可表示为

，可以假定两种坐标之间有关系

现在考虑一个小的位移

，由于

是

的函数，所以

也可以写为：

由此，我们可以定义一个标量，称为度量因子，如下：

那么，在该坐标系中的三个单位基向量可表示为：

要求基向量是正交的，也即：

这时，位移矢量也就有形式：

线元，面积元，体积元，在该坐标系下分别可以写作：

(二）一般参考系下的梯度，散度，旋度形式

在如上的一般参考系下，对于一个标量场函数的梯度为

对于一个矢量场函数的散度为

对于一个矢量场函数的旋度为

(三）几个特殊参考系下的拉普拉斯形式

由上面的结果可以很容易的得出一般参考系下的拉普拉斯形式，下面来具体求出在极坐标，柱坐标，球坐标下的拉普拉斯形式

极坐标

极坐标中的位矢可以用两个坐标表示，

由此可以得到

为：

那么代入上面的梯度散度公式，就有

柱坐标

柱坐标中的位矢可以用三个坐标表示，

同样，可以得到

代入梯度和散度公式得：

球坐标

球坐标中的位矢也可以用三个坐标表示

可以计算

拉普拉斯形式为

完结。

参考

Vector Calculus.P.C.Matthews