【泛函】线性算子的谱论（数学知识用程序表达轻松学系列）

算子的谱$\sigma (A)$的概念

$\sigma (A)={\sigma }_p(A)\bigcup {\sigma }_c(A)\bigcup {\sigma }_r(A)$
$算子的谱=点谱\bigcup 连续谱\bigcup 剩余谱$

• 点谱Point：算子A的所有特征值的集合
• 连续谱Continue：
• 剩余谱：

设$X$为非零复Banach空间，$D(A)$为$X$的线性子空间，$A:D(A)\to X$为闭线性算子，$\lambda \in \mathbb{C}$。则用$\lambda -A$来简单表示算子$\lambda I_X-A$，其中$I_X$为$X$上的恒等映射。称$\lambda$为A的特征值，也称本征值，如果存在$x_0\in D(A),x_0\ne 0$，使得$A{x}_0=\lambda x_0$。其中$x_0$称为$A$（算子）相对于特征值$\lambda$的特征向量。

定理解析：数学上，可以用$D(A)$表示该算子$A$的入参的范围空间(顺带能够获取其类型)，即x = D(A) # type: Set[X]。$A:D(A)\to X$为闭线性算子，这个就扯了，居然能用自解释表达函数入参类型，有种如下感觉：

def A(x: TypeOfFuncAPara) -> X:
    """
    我们有一个算子A
    """
    assert x in domain_set_of_A
    ... ...

domain_set_of_A = D(A)  # 通过D函数运算能够获取算子A的入参范围Set[TypeOfFuncAPara]

所谓特征，就是指算子A的特点。该算子A作用于某几个特殊向量的时候，仅相当于大小变化。
如下举一个斜切（shear）变换矩阵的例子：
$$\left[\begin{array}{cc}2& 8\\ 0& 2\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{c}3\\ 0\end{array}\right]=2\cdot \left[\begin{array}{c}3\\ 0\end{array}\right]$$
其特征向量可以有无数个（任意$x\in \mathbb{C}$实数域的值 for $\left[\begin{array}{c}x\\ 0\end{array}\right]$），特征值为2，即：
$$\left[\begin{array}{cc}2& 8\\ 0& 2\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{c}x\\ 0\end{array}\right]=2\cdot \left[\begin{array}{c}x\\ 0\end{array}\right],x\in \mathbb{C}$$