在学习概率论的"参数估计"一章时有一些概念没能理解清楚，尤其是参数估计量的性质。在反复翻书的过程中总算搞清楚了一些，在这里记录一下我的理解
无偏性
一般书上讲到的第一个性质就是这个，初看很让人头大，如果不弄清楚的话对于后续内容的理解是很大的阻碍
按照书上（浙大概率论）的定义，无偏性是指:
设 X 1 , X 2 , . . . , X n X_1, X_2, ..., X_nX1,X2,...,Xn 是总体X XX的一个样本，θ ∈ Θ \theta\in\Thetaθ∈Θ是包含在总体X XX的分布中的待估参数，其中 Θ \ThetaΘ 是θ \thetaθ的取值范围
若估计量θ ^ = θ ^ ( X 1 , X 2 , . . . , X n ) \hat{\theta}=\hat{\theta}(X_1, X_2, ..., X_n)θ^=θ^(X1,X2,...,Xn)的数学期望E ( θ ^ ) E(\hat\theta)E(θ^)存在，且对于任意θ ∈ Θ \theta\in\Thetaθ∈Θ有
E ( θ ^ ) = θ E(\hat\theta)=\thetaE(θ^)=θ
则称θ ^ \hat\thetaθ^是θ \thetaθ的一个无偏估计量
这个定义初看的话是很难理解的(至少对我来说)，因为很难理解这个θ ^ \hat\thetaθ^到底指的是什么，θ ^ = θ ^ ( X 1 , X 2 , . . . , X n ) \hat{\theta}=\hat{\theta}(X_1, X_2, ..., X_n)θ^=θ^(X1,X2,...,Xn) 这个等式也是有点捉摸不透
其实定义里已经提到， θ ^ \hat{\theta}θ^是一个估计量，更为具体的，是对样本的估计量。参数估计目的就是利用样本的估计量去估计真值，一个典型的例子就是用样本的均值去估计真正的均值。
所以参数的点估计（与之对应的还有区间估计）指的就是，取n nn个样本，对这n nn个样本进行某种运算（比如: 取均值，这个运算就是θ ^ \hat\thetaθ^）可以得到一个估计值，用这个估计值去估算真值(这个真值就是θ \thetaθ)。但是我们知道，只取n nn个样本存在随机性，估计出来的真值很可能是不准确的，所以我们再进行多次取样，如果这多次取样运算的均值与真值θ \thetaθ相等，那么这个运算θ ^ \hat\thetaθ^就是无偏的
那么按照这样的理解去解释估计量的其他性质:
- 有效性: 对于按不同的估算量θ ^ 1 , θ ^ 2 \hat\theta_1, \hat\theta_2θ^1,θ^2进行多次取样运算，可以得到两组值，方差较小者对应的θ ^ \hat\thetaθ^称为更有效
- 相合性: 相合性指的是随着样本容量增大(n nn趋于正无穷时)，估计量θ ^ \hat\thetaθ^稳定于真值θ \thetaθ, 也即θ ^ ( X 1 , X 2 , . . . , X n ) \hat\theta(X_1, X_2, ..., X_n)θ^(X1,X2,...,Xn)依概率收敛于θ \thetaθ
以上只是我的个人理解，如有错误，欢迎指出