求周期方波信号的傅里叶级数_傅里叶变换系列学习（2）----复信号的傅里叶级数...

简单复习一下前一章的学习。有了前一章的学习，本章的学习要简单一些了。

傅里叶级数就是信号在基

n=0,1,2... 和基

n=1,2,3...下的系数，逆变换就是用系数和基表达出原有的信号。下面，我们把实数基换成复数基

,这样的话，我们的信号在实空间的傅里叶级数就可以在复数空间展开。先说结论：复数空间的展开，体态更优美。

欧拉公式：

复数空间的内积定义

对于实空间，傅里叶系数的计算方法：

而实空间的内积定义是这样的：

到了复数空间，数学家规定了复数的内积定义

当然也有文献的定义是

其中，

表示函数

的共轭。 这里我们取第一种定义方法。

请注意，在复数空间的内积定义，

简单证明一下

把内积定义完备到复数空间后，我们就可以愉快的证明复数空间的傅里叶级数了

复数空间的傅里叶级数

结论是傅里叶系数：

逆变换是

下面来证明一下，根据系数公式：

(上面的计算中，因为

)

显然，

所以

，问题得证。

有时候很多人搞不清楚，到底什么时候用

后期展望

到这里，我们已经从纯数学的角度完成了连续周期信号的傅里叶级数的公式证明，包括三角函数和复函数。这种变换一般叫做FS (Fourier Series)

傅里叶相关的变换还有很多，连续非周期信号，离散周期信号，离散非周期信号，以及在这些基础之上的DFT，FFT等等。后面我们会介绍一下各种变换的应用场景，然后一一展开，一直讲到FFT。