matlab的无穷大怎样表示_标准二阶系统的Matlab分析

当我们已知一个系统的闭环传递函数时候，我们通常有两种方法来判断系统的稳定性。第一种是时域分析方法，可以观察闭环传递函数的阶跃响应；第二种是频域分析法，可以观察闭环传递函数的频率响应。频域分析方法中，伯德图一般被广泛使用。这两种分析方法都可以借助Matlab 工具得到直观的曲线，非常有助于我们对问题的分析。 Note1:时域分析时，除了常用的阶跃信号作为输入激励外，还常使用脉冲信号和斜坡信号作为激励。 Note2:频域分析法，我们既可以选择环路增益的伯德图，也可以选择闭环传递函数的伯德图。 以一个非常有代表性的标准二阶系统为例，可以通过Matlab研究该系统的特性。其闭环传递函数如下(公号不支持公式编辑也真是个亮点，直接上图吧)：下面针对公式2进行分析。 01   时域

当ζ取不同的值时，该系统的阶跃响应会是怎样的呢？设计如下所示的Matlab代码。仿真波形如图1所示，三维波形如图2所示。

% G(s)=ωn^2/(s^2+2ζωn s+ωn^2 ).whenωn=1,research unit-step response% with different ζvalues.%------------------------------------------------------------------------t=0:0.2:10;zt=[0.1 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0];for n=1:6    num=[1];    den=[1 2*zt(n) 1];    [y(1:51,n),x,t]=step(num,den,t);    [y(1:51,n),x,t]=impulse(num,den,t);endplot(t,y)gridtitle('plot of unit_step response curves with \omega_n=1 and \zeta=0.1,0.2,0.4,0.6.0.8,1.0')xlabel('t secs')ylabel('response')text(3.7,1.7,'\zeta=0.1')text(3.5,0.8,'\zeta=1.0')% to plot a three-dimensional diagram,enter the command mesh(t,zeta,y')figure(2)mesh(t,zt,y')title('three-dimensional plot of unit-step response curves')xlabel('t secs')ylabel('\zeta')zlabel('response')

图 1  ζ取不同值时的闭环阶跃响应曲线

图 2 ζ取不同值时的三维图形

当ζ从0不断增大时，系统将逐渐从欠阻尼状态(0＜ζ＜1)过渡到临界阻尼状态(ζ=1)再过渡到过阻尼状态(ζ＞1)。

观察闭环阶跃响应曲线，当ζ＜0.6时，系统表现出很大的减幅振荡；当ζ≥0.6时，系统趋于稳定，可以看到ζ=1.0时已非常稳定。也可以发现，当系统的稳定性有保障之后，响应速度随着ζ越大而越来越慢。在工程控制中，为了平衡系统稳定性和响应速度，ζ一般取0.707。

02  频域

其实也可以在频域上观察系统的稳定性，设计如下的Matlab代码，仿真结果如图3所示。

% G(s)=ωn^2/(s^2+2ζωn s+ωn^2 ).whenωn=1,the plot of bode digram% with different ζvalues.%------------------------------------------------------------------------zt=[0.1 0.2 0.4 0.6 0.8 1];%zt=[0.1:0.1:1];for n=1:6;    num=[1];    den=[1 2*zt(n) 1];    G=tf(num,den);    hold on;    bode(G)endgridtitle('plot of bode diagram with \omega_n=1 and \zeta=0.1,0.2,0.4,0.6.0.8,1.0')

图 3 ζ取不同值时的闭环频率响应曲线

观察闭环频率响应曲线，因为ωn=1，发现1rad/s附近有好几条曲线具有正的增益，这其实是系统不稳定的表现。重点观察ζ=0.1时的曲线，因为ωn=1时，所以曲线在大约1rad/s处出现尖峰(意味着极大增益)，实际会表现为振荡。同理，如果ωn=2，ζ=0.1时曲线会在2rad/s附近出现尖峰。(注：如果ζ=0，会发现在ωn处有无穷大增益)。 工程控制中一般取ζ=0.707是非常有道理的，此时系统在稳定性和响应速度方面可以说达到了最好平衡。此时，闭环系统的频响平坦区范围基本上是0~ωn。 03 总结

ζ=0.707时，系统的稳定性和响应速度之间达到最好的折衷，此时闭环频率响应的平坦区范围可到ωn；

ζ=0.707不一定是所有二阶系统的最优选择 ，在稳定性得到保障之后，ζ具体取多大还要看实际系统的具体需求；

一个不稳定的二阶系统，很可能会在ωn附近出现振荡行为；

使用Matlab可以对任意已知传递函数的系统进行阶跃响应、脉冲响应、斜坡响应的分析。脉冲响应可直接使用impulse(num,den,t)命令。斜坡响应较为复杂，没有直接的命令可用。这时就需要进行公式转换，斜坡响应的拉普拉斯表示为1/s2，将其乘以G(s)得到G(s)/s2，因此G(s)的斜坡响应可通过G(s)/s的阶跃响应得到。

参考： [1] 现代控制工程，Kat suhiko Ogata ，P 123~P149 [2] 控制系统计算机辅助设计，薛定宇， P170~P190