多元函数微分中的偏导、导数的一些问题

首先是区分一下偏导数$\partial$和$d$（这里不能说全导数，全导数是一元函数中的，多元函数中没有全导数这种东西）：
这里我不从定义上来纠结，作为一名人文社科专业的学生，我们就从控制金融变量（也就是我们函数中的自变量x、y），最后达到目标变量（就是函数的最终取值）的传导途径来看。
一个比较典型的例子是流动性陷阱，一般来说我们都知道降低利率会刺激经济的增长，这个很好理解的，就比如你存钱的基本上不给利息了，贷款的时候可能银行还倒贴你利息（这个比较罕见，一般就是比0高的不多了）。
在这里降低利率是我们的控制变量x、y，而经济增长是我们最终的目的，也就是函数的值。但是我们发现当利率降低到一定程度后，人们反而不愿意消费、投资了，钱都被人们雪藏起来了，这就是因为低利率影响了人们的流动性偏好，这个时候人们认为持有现金是最好的选择（有兴趣的同学可以去翻金融学相关的文章），进一步的，这个时候经济增长的目的也就达不到了。

由此我们可以看到一个如下的传导途径：

如果用的d的话，$\frac{d(经济增长)}{d(利率调整)}$就相当于考虑了两条路径，而偏导数$\frac{\partial 经济增长}{\partial 利率调整}$就只考虑了直接的影响，没有考虑到流动性偏好这条路径了。

最后我们讲一讲考研中不同的表达式中的偏导数和全导数：
链式求导法则中：
eg. $z=f[\varphi (x,y),\psi (x,y)],u=\varphi (x,y),v=\psi (x,y)$
一般情况应该是：$\frac{dz}{dx}=\frac{\partial z}{\partial u}\frac{du}{dx}+\frac{\partial z}{\partial v}\frac{dv}{dx}$

只是x、y没有相互依赖，所以后面$\frac{du}{dx}$写成$\frac{\partial u}{\partial x}$也是可以的，不过还是注意一下吧，能写成$\partial$的地方不要写d，我上面所写的理解是不够严谨的。这个对你做题不会产生太大的影响，规范的表述详细见30讲p161 1.链式求导法则

隐函数存在定理中：
在二元的情形下就没有偏导的概念了，偏导和全导数是一个意思。要注意的是在三元方程、甚至更高的情况下，隐函数存在定理算出来的是偏导数：
在$F_z^{{}^{\prime }}(x_0,y_0,z_0)\ne 0$条件下，可以在$(x_0,y_0,z_0)$的某一邻域内能唯一确定一个连续且具有连续偏导数的函数$z=f(x,y)$，它满足条件$z_0=f(x_0,y_0)$，并且
$$\frac{\partial z}{\partial x}=-\frac{F_x^{{}^{\prime }}}{F_z^{{}^{\prime }}},\frac{\partial z}{\partial y}=-\frac{F_y^{{}^{\prime }}}{F_z^{{}^{\prime }}}$$

一个表达式的规范问题：
$f(x,t(x))，f_x^{\prime }$是等于$\frac{\partial f}{\partial x}$还是等于$\frac{df}{dx}=\frac{\partial f}{\partial x}+\frac{\partial f}{\partial t}\frac{dt}{dx}$
@Zeeluokeng 偏导的写法没有很明确的规定，视不同的书可能有不同的规定。所以在考试时是不会有这种比较迷惑的写法的，你自己写也不要这样写。这个函数如果你想表示前面那个，就写f’1，所以f’这样的是求的偏导数，后面那个就写df/dx

一个易错题：（1000题p40T3）设$y=f(x,t)$，而$t$是由方程$F(x,y,t)=0$所确定的$x,y$的函数，其中$f,F$均具有一阶连续偏导数，则$\frac{dy}{dx}=()$

一个比较灵活甚至有些搞怪的题：（1000题p40T14）设函数z=z(x,y)由G(x,y,z)=F(xy,yz)=0确定，其中F为可微函数，且$G_z^{\prime }\ne 0$，求$x\frac{\partial z}{\partial x}-y\frac{\partial z}{\partial y}$