二自由度车辆的运动学模型和动力学模型

最近刚接触自动驾驶相关的知识，得知像LQR、MPC这类基于模型的控制器，若想有不错的控制器性能，那么必须有比较精确的被控对象的数学模型。对于车辆这类被控对象的模型，经过一系列简化和在一些假设的情况下，可以将车辆简化成一个二自由度的模型，如下图所示是一个二自由度汽车模型，根据此模型建立其运行学和动力学模型。

二自由度车辆的运动学模型

首先建立运动学模型：
其中$v$是小车的实际速度将其沿着$x,y$轴进行分解，即将车体坐标系下的速度分解到笛卡尔坐标系下。
运用三角函数以及线速度和角速度的关系建立如下的运动学模型，
$$\begin{gathered} \dot{x}=vcos(\beta +\phi ) \\ \dot{y}=sin(\beta +\phi ) \\ \omega =\frac{v}{R} \end{gathered}$$
后轮到中心的距离为a,前轮到中心的距离为b且$a+b=l$,根据三角函数中的正弦定理可知:
$$\begin{gathered} \frac{R}{sin(\frac{\pi }{2}-{\delta }_r)}=\frac{a}{sin({\delta }_r+\beta )} \\ \frac{R}{sin(\frac{\pi }{2}-{\delta }_f)}=\frac{b}{sin({\delta }_f-\beta )} \end{gathered}$$
考虑在低速的情况下，车不会发生侧向滑动，后轮不发生转向即${\delta }_r=0,\beta =0$
则得到
$$R=\frac{l}{tan({\delta }_f)}$$
最终得到二自由度车辆的运动学模型
$$\begin{gathered} \dot{x}=vcos(\phi ) \\ \dot{y}=sin(\phi ) \\ \omega =\frac{v.tan({\delta }_f)}{l} \end{gathered}$$

二自由度车辆的动力学模型

根据上图的二自由度车辆的模型从力以及转矩方面进行分解
在$x,y,z$轴进行分析
$$\begin{gathered} m(\ddot{x}-v_y\dot{\phi })=F_{xr}+F_{xf}cos(\delta )-F_{yf}sin(\delta ) \\ m(\ddot{y}+v_x\dot{\phi })=F_{yr}+F_{yf}cos(\delta )+F_{xf}sin(\delta ) \\ I\ddot{\phi }=(F_{yf}cos(\delta )+F_{xf}sin(\delta )).b-F_{yr}.a \end{gathered}$$
其中$F_{yr}=C_r.{\delta }_r$,$F_{yf}=C_f.{\delta }_f$，而$C_r,C_f$代表侧偏刚度。
下面将对${\delta }_r以及{\delta }_f$进行计算
$$\begin{gathered} tan({\delta }_r)=\frac{\dot{\phi }a-v_y}{v_x} \\ tan(\delta -{\delta }_f)=\frac{\dot{\phi }b+v_y}{v_x} \end{gathered}$$
忽略前轮驱动力$F_{xf}$对横摆运动的影响$F_{xf}sin(\delta )=0$，当以前轮驱动的车辆作为研究目标时，后轮驱动力$F_{xr}=0$.
最终写成状态空间方程的形式

至此，关于二自由度车辆的运动学模型和动力学模型推导完毕，下面将讲解控制器的设计。

主要参考忠厚老实的老王王老师的相关推导