三阶齐次线性方程求通解_MIT—微分方程笔记26 常系数齐次线性方程组（续）

第26讲 常系数齐次线性方程组（续）

Continuation: Repeated Real Eigenvalues

求解向量形式微分方程

：

1. 求解特征方程

，得到特征值

2. 通过求解

得到特征向量

，解函数即为

。

对每一个特征值求特征向量，得到解函数，而方程的通解是这些解的线性组合。

今天将讨论求解过程不那么顺利的情况，例如前半节课讨论具有重复特征值的情况，这比二阶方程的重特征值更加复杂。

例：一个圆形的鱼缸被分为三个相等部分，分别保持不同的温度

，停止加热后，温度随着热交换而逐渐趋同，过程中热量没有损失，求温度随时间的变化函数。

解答：隔间1温度变化的微分方程为

，将它整理成标准状态并取

。方程组的特征方程

，得到特征值为0，-3（二重根）。

时，特征向量满足

，即

。每个领域的微分方程都有自己的求解小技巧，因为在该领域中总是会求解比较相近的一类方程，或者问题的物理本质会赋予解函数特殊的性质。本例中，所求的向量乘以指数得到方程的解

，这是一个常数解，而与之对应的就是温度不变，此例中只要三个温度相等，则可以一直保持不变的状态。因此解就是

。

时，特征方程为

，可解得

和

。特征方程的其它解都是这两个解的线性组合。

方程通解为

。当时间趋向于无穷时，前两项趋向于0，方程的解趋向于常数解。

如果 是一个重特征值，但可以找到足够的特征向量，来构造所需数量的独立解，这类特征值称之为“完备特征值”，否则即重特征值不具备足够的特征向量，称之为“不完备特征值”。

主轴定理（谱定理）：如果矩阵A是nxn实对称矩阵（A转置=A），则它的所有特征值都是完备的。

许多微分方程都满足这个要求，在这种情况下不必担心求解。

复特征值

所求特征值为复数，则对应的特征向量也为复值，解为

。分别取实部和虚部，得到的是两个实数解。

例：

这个例子简直是太……我喜欢这个例子

x是苏珊对乔治的爱，y为乔治对苏珊的爱，

代表恋爱的一般状态。明显乔治的爱更加神经质。苏珊感受到对方和自己的感情会促进情感，而乔治发现对方更爱自己会降低自我感觉。

特征方程

，得到

。代入正负值计算得到的解函数是相同的。代入

，复数解为

。实部和虚部将分别给出两个实解。例如实部为

。即解函数为

其图像为椭圆，代表着苏珊和乔治的在爱情里面转圈。