向量空间

定义：

I
设V V为n维向量的集合，如果集合V V非空，且集合V对于向量的加法和乘法两种运算封闭，那么就称集合V V为向量空间

II
设有向量空间V1和V2 V 2，若V1⊆V2 V 1 ⊆ V 2，就称V1 V 1是V2 V 2的子空间。

III
设V V是向量空间，如果有r个向量a1,a2,⋯,ar∈V a 1 , a 2 , ⋯ , a r ∈ V，且满足
(i)a1,a2,⋯,ar a 1 , a 2 , ⋯ , a r线性无关
(ii)V V中任意一个向量都可以由a1,a2,⋯,ar线性表示，
那么就称向量组a1,a2,⋯,ar a 1 , a 2 , ⋯ , a r为向量空间的一个基，r r称为向量空间V的维数，并称V V为r维向量空间

IV
如果在向量空间V V中取定一个基a1,a2,⋯,ar，那么V V中任意一个向量x可以唯一表示为

x=λ1a1+λ2a2+⋯+λrar x = λ 1 a 1 + λ 2 a 2 + ⋯ + λ r a r
则数组 λ1,λ2,⋯,λr λ 1 , λ 2 , ⋯ , λ r称为向量在基 a1,a2,⋯,ar a 1 , a 2 , ⋯ , a r中的坐标。
特别的，在 n n维向量空间中Rn中取单位坐标向量组 e1,e2,⋯,en e 1 , e 2 , ⋯ , e n为基，则以 x1,x2,⋯,xn x 1 , x 2 , ⋯ , x n为分量的向量 x x可表示为
x=x1e1+x2e2+⋯+xnen x = x 1 e 1 + x 2 e 2 + ⋯ + x n e n

可见向量在基 e1,e2,⋯,en e 1 , e 2 , ⋯ , e n中的坐标就是该向量的分量，因此 e1,e2,⋯,en e 1 , e 2 , ⋯ , e n叫做 Rn R n中的自然基

坐标变换公式：

在R3 R 3中确定一个基a1,a2,a3 a 1 , a 2 , a 3，再取一个新基b1,b2,b3 b 1 , b 2 , b 3，设A=(a1,a2,a3) A = ( a 1 , a 2 , a 3 ),B=(b1,b2,b3) B = ( b 1 , b 2 , b 3 )
则用a1,a2,a3 a 1 , a 2 , a 3表示b1,b2,b3 b 1 , b 2 , b 3的表达式为基变换公式
两个基中的坐标之间的关系式（坐标变换公式）

(a1,a2,a3)=(e1,e2,e3)A ( a 1 , a 2 , a 3 ) = ( e 1 , e 2 , e 3 ) A

(e1,e2,e3)=(a1,a2,a3)A−1 ( e 1 , e 2 , e 3 ) = ( a 1 , a 2 , a 3 ) A − 1

(b1,b2,b3)=(e1,e2,e3)B=(a1,a2,a3)A−1B ( b 1 , b 2 , b 3 ) = ( e 1 , e 2 , e 3 ) B = ( a 1 , a 2 , a 3 ) A − 1 B

即基变换公式为：
(b1,b2,b3)=(a1,a2,a3)P ( b 1 , b 2 , b 3 ) = ( a 1 , a 2 , a 3 ) P

系数矩阵 P=A−1B P = A − 1 B称为旧基到新基的过渡矩阵

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