闭区间上连续函数的性质

有界性与最大值最小值定理

先说明最大值和最小值的概念.对于区间 $I$ 上有定义的函数 $f(x)$,如果有 $x_0\in I$,使得 $\forall x\in I$,$\exists f(x)\le f(x_0)(f(x)\ge f(x_0))$,那么就称 $f(x_0)$ 是函数 $f(x)$ 在区间 $I$ 上的最大值(最小值).

定理1(有界性与最大值最小值定理)

在闭区间上连续的函数在该区间上有界,且一定能取到它的最大值和最小值.

这就是说,如果函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a,b]$ 上连续,那么存在常数 $M>0$,使得对于任一 $x\in [a,b]$,满足 $|f(x)|\le M$;且至少有一个点 ${\xi }_1$,使 $f({\xi }_1)$ 是 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上的最大值;又至少有一点 ${\xi }_2$,使得 $f({\xi }_2)$ 是 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上的最小值.

注意:函数在开区间内连续,或函数在闭区间上有间断点,那么函数在改区间上不一定有界,也不一定有最大值和最小值.

零点定理和中介定理

如果 $x_0$ 使 $f(x_0)=0$,那么就称为函数 $f(x)$ 的零点.

定理2(零点定理)

设函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a,b]$ 上连续,且 $f(a)$ 与 $f(b)$ 异号(即 $f(a)\cdot f(b)<0$),则在开全景 $(a,b)$ 内至少有一点 $\xi$,使得$$f(\xi )=0.$$

从几何上看,定理2表示:如果连续曲线弧 $y=f(x)$ 的两个端点位于 $x$ 轴的不同侧,那么这段曲线弧与 $x$ 轴至少有一个交点.

由定理2可以推出下列较一般性定理.

定理3(介值定理)

**设函数 $f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上连续,且在这区间的端点取不同的函数值$$f(a)=Af(b)=B,$$则对于 $A$ 和 $B$ 之间的任意一个数 $C$,在开区间 $(a,b)$ 内至少存在一点 $\xi$,使得$$f(\xi )=C(a<\xi <b).$$

证明较简单,略.

推论

在闭区间 $[a,b]$ 上连续的函数 $f(x)$ 的值域为 $[m,M]$,其中 $m$ 和 $M$,依次为 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上的最小值和最大值.