1.单调有界的数列存在极限
证明数列极限存在的步骤
1.找到递推关系 （多为两项递推 若出现三项 则化为差比数列）
2.单调性证明 （作差，求导，数学归纳法，不等式放缩）
3.有界性的证明 ：有上界有下界 有界；按照需求来 方法太多故不一一阐述
先按照咱们的步骤来 先写出它的递推关系；
然后写他的单调性叭 这道题利用了一个重要不等式sinx小于x 直接搞出单调性
当x属于（0，兀）【 pai不会打 ...】
紧接着是证明他的有界性 三角函数 且有范围 一秒出有界性
最后两边同时去极限 A=sinA 即A=0 即极限为0
下面是例题二例题三...
先来看例题三叭 先用递推关系交代一下正定等
基本不等式求出下界 再来个单调减即可
而这个单调性 用我们前面所说的求导，或者作差来证明 ok搞定
例题二 此时蠢蠢欲动
没给我们递推关系 那就先自己写递推关系
然后瞪眼法基本看出其单调性
法一：归纳法自圆其说即可 （取1取2取3都可 假设k可 证明k+1可）
法二：用“黑”科技 求导 证明导数恒大于0 然后...写出单调性
下一步是他的有界性 此时不妨先两边求极限 搞出极限 使极限为界（汤家凤老师管这个叫妥妥滴！）确实妥妥滴
今天内容基本告一段落 不过瘾？再来一道例题
这道题是我模仿上面的格式写的 若有不对还望指出
好了 彻底结束了现在 下面声明几点：
这些题目和笔记是我对着汤家凤寒假直播写的 有我自己的一丢丢粗浅理解，仅为我复习所用，不过曾经一时口嗨 说会更新极限 那么就将它发出来 如果此举影响了任何人利益请联系我 立马删除 谢谢 若有不足请指出 （ps我个人认为：这是汤老师公益直播 拿出来分享不会侵害他老人家利益 若是有影响立马删除 ）严谨任何人转载 严谨作任何其它之用
由于笔者水平实在有限 故可能有错 望大家指出感激不尽 最后致敬汤老师 @汤家凤 以及另一位老师 因为上述有一个证明是b站看的 我觉得更好理解不过不记得是谁了 ...侵删...