二阶常系数微分方程的通解

二阶常系数微分方程的通解

(一.) 二阶常系数微分方程的通解的组成：

      其对应二阶常系数微分方程的通解 +  二阶常系数微分方程的特解

(二.) 构造二阶常系数微分方程的特解

1. 形如：$y^{\prime \prime }+p{y}^{\prime }+qy=P_{m(x)}{e}^{\alpha x}$ 的二阶常系数微分方程。

   $（P_{m(x)}表示最高次数为m的多项式。）$

   $构造：y\ast =Q_{(X)}{e}^{\alpha x}$

           $\Rightarrow y{\ast }^{\prime }=Q_{(X)}^{\prime }{e}^{\alpha x}+\alpha Q_{(X)}{e}^{\alpha x}$,

                 $y{\ast }^{\prime \prime }=Q_{(X)}^{\prime \prime }{e}^{\alpha x}+2\alpha Q_{(X)}^{\prime }{e}^{\alpha x}+{\alpha }^2{Q}_{(X)}{e}^{\alpha x}$

                  $将y\ast ,y{\ast }^{\prime },y{\ast }^{\prime \prime },代入y^{\prime \prime }+p{y}^{\prime }+qy=P_{m(x)}{e}^{\alpha x}$:

                  $\Rightarrow e^{\alpha x}[Q_{(X)}^{\prime \prime }+(2\alpha +p)Q_{(X)}^{\prime }+({\alpha }^2+p\alpha +Q_{(x)}]=P_{m(x)}{e}^{\alpha x}$

                      即，$[Q_{(X)}^{\prime \prime }+(2\alpha +p)Q_{(X)}^{\prime }+({\alpha }^2+p\alpha +Q_{(x)}]=P_{m(x)}$

          $讨论：$
          (1) $\alpha 不是特征方程r^2+pr+q=0的解$
         $由Q_{(X)}^{\prime \prime }+(2\alpha +p)Q_{(X)}^{\prime }+({\alpha }^2+p\alpha +Q_{(x)}=0可构造$:

              $Q_{(X)}=a_m{x}^m+a_{(m-1)}{x}^{(x-1)}\cdots a_{1}x+a_0$

          （2)$\alpha 是特征方程r^2+pr+q=0的单根$
         $由Q_{(X)}^{\prime \prime }+(2\alpha +p)Q_{(X)}^{\prime }=0可构造$:

              $Q_{(X)}^{\prime }=a_m{x}^m+a_{(m-1)}{x}^{(x-1)}\cdots a_{1}x+a_0$

          （3)$\alpha 是特征方程r^2+pr+q=0的重根$
         $由Q_{(X)}^{\prime \prime }=0可构造$:

              $Q_{(X)}^{\prime \prime }=a_m{x}^m+a_{(m-1)}{x}^{(x-1)}\cdots a_{1}x+a_0$

          $最后，根据多项式相等，则其对应系数相等可求解$

解题步骤：

1.） 求解二阶常系数非齐次微分方程对应的齐次微分方程的通解
2.） 遇到形式为 $y^{\prime \prime }+p{y}^{\prime }+qy=P_{m(x)}{e}^{\alpha x}$ 的二阶常系数微分方程， 构造$y\ast =Q_{(X)}{e}^{\alpha x}$
3.） $将y\ast ,y{\ast }^{\prime },y{\ast }^{\prime \prime },代入y^{\prime \prime }+p{y}^{\prime }+qy=P_{m(x)}{e}^{\alpha x}并化简$
4.） 判断 $\alpha$ 是否为特征方程的根？单根？重根？
5. ）根据 $\alpha$ 确定所构造的多项式次数并求解。

2. 形如：$y^{\prime \prime }+p{y}^{\prime }+qy=[P_{m(x)}cos$$\beta$$x+P_{n(x)}sin$$\beta$$x]e^{\alpha x}$ 的二阶常系数微分方程。

【欧拉公式: $e^{\beta xi}$=cos$\beta +isin\beta$$x$ 】

          $e^{\beta xi}$=cos$\beta x+isin\beta$$x$
          $e^{-\beta xi}$=cos$\beta x-isin\beta x$

$\Rightarrow$ cos$\beta$ x= $\frac{e^{\beta xi}+e^{-\beta xi}}{2}$
      sin $\beta$ x= $\frac{e^{\beta xi}-e^{-\beta xi}}{2i}$

$\therefore$ $[P_{m(x)}cos$$\beta$$x+P_{n(x)}sin$$\beta$$x]e^{\alpha x}$
   
  =$[\frac{P_{m(x)}}{2}+\frac{P_{n(x)}}{2i}]$ $e^{(\alpha +\beta i)x}$+$[\frac{P_{m(x)}}{2}-\frac{P_{n(x)}}{2i}]$ $e^{(\alpha -\beta i)x}$

  =$[\frac{P_{m(x)}}{2}-\frac{P_{n(x)}i}{2}]$ $e^{(\alpha +\beta i)x}$+$[\frac{P_{m(x)}}{2}-\frac{P_{n(x)}i}{2}]$ $e^{(\alpha -\beta i)x}$

  = $P_{s(x)}{e}^{(\alpha +\beta i)x}$ + $\overline{P_{s(x)}}$$e^{(\alpha -\beta i)x}$                    $(其中s=maxm,n)$

【 $P_{s(x)},\overline{P_{s(x)}}$ 为共轭复多项式。】