约数个数

任何一个大于1的自然数 N，如果N不为质数，那么N可以唯一分解成有限个质数的乘积：
$$N=p_1^{a_1}\times p_2^{a_2}\times p_3^{a_3}...p_n^{a_n}$$这里$p_1<p_2<p_3...<p_n$均为质数，其中指数$a_i$是正整数。这样的分解称为 N 的标准分解式。

N 的约数个数 =$(a_1+1)\times (a_2+1)\times (a_3+1)\times ...\times (a_n+1)$

证明

$N$可以分解质因数：
$$N=p_1^{a_1}\times p_2^{a_2}\times p_3^{a_3}...p_n^{a_n}$$
$p_1^{a_1}$由约数定义可知的约数有：$p_1^0,p_1^1,...p_1^{a_1}$，共$(a_1+1)$个；同理$p_2^{a_2}$的约数有$(a_2+1)$个；……；$p_k^{a_k}$的约数有$(a_k+1)$个。

故根据乘法原理：$N$的约数的个数就是：$(a_1+1)\times (a_2+1)\times ...\times (a_n+1)$。

模板问题

给定 $n$ 个正整数 $a_i$，请你输出这些数的乘积的约数个数，答案对 $10^9+7$ 取模。

输入格式

第一行包含整数 $n$。
接下来 $n$ 行，每行包含一个整数 $a_i$。

输出格式

输出一个整数，表示所给正整数的乘积的约数个数，答案需对 $10^9+7$ 取模。

数据范围
$1\le n\le 100$,
$1\le a_i\le 2\times 10^9$

输入样例

3
2
6
8

输出样例

12

代码实现

#include <iostream>
#include <map>
using namespace std;

/*
如果 N = p1^c1 * p2^c2 * ... *pk^ck
约数个数： (c1 + 1) * (c2 + 1) * ... * (ck + 1)
*/
const int mod = 1e9 + 7;
typedef long long LL;
int main()
{
    int n;
    cin >>  n;
    map<int, int> h;
    while(n --)
    {
        int x;
        cin >> x;
        for(int i = 2; i <= x / i; i ++)
        {
            while(x % i == 0)
            {
                h[i] ++;
                x /= i;
            }
        }
        // 任何一个数字x，最多只包含一个大于sqrt(x)的质因子
        if(x > 1) h[x] ++;
    }

    int res = 1;
    for(map<int, int>::iterator it = h.begin(); it != h.end(); it ++)
    {
        res = (LL) res * (it -> second + 1) % mod;
    }
    cout << res << endl;
    return 0;
}

约数之和

N 的约数之和 =$(p_1^0+p_1^1+p_1^2+...+p_1^{a_1})\times (p_2^0+p_2^1+p_2^2+...+p_2^{a_2})\times ...\times (p_n^0+p_n^1+p_n^2+...+p_n^{a_n})$

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int mod = 1e9 + 7;
//divs[i] = j 表示因子i的个数为j
unordered_map<int, int> divs;

int main(){
    int n;
    cin>>n;
    while(n--){
        int x; cin>>x;
        //求x的约数，及其个数
        for(int i = 2; i <= x / i; i++){
            while(x % i == 0) {
                divs[i]++;
                x /= i;
            }
        }
        if(x > 1) divs[x]++;

    }
    long long res = 1;
    for(auto d : divs){
        int p = d.first, a = d.second;

        long long t = 1;
        // t[1] = 1 + p^1
        // t[2] = 1 + (1 + p) * p  = 1 + p^1 + p^2
        // t[k - 1] = 1 + p^1 + p^2 + ... + p^{k-1}
        // t[k] = 1 + t[k-1] * p= 1 + ( 1 + p^1 + p^2 + p^{k-1}) * p = 1 + p^1 + p^2 +...+ p^{k-1} + p^k
        while(a--) 
            t = (1 + t * p) % mod; 

        res = res * t % mod;

    }
    cout<<res<<endl;

    return 0;
}