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注意：下面的证明中用IR表示实数域，以区别于表示有理数域的R。
证 明 ： 在 把 实 数 域 I R 分 割 成 两 个 部 分 △ 1 和 △ 2 的 同 时 ， 包 含 全 体 有 理 数 \quad 证明：在把实数域IR分割成两个部分\triangle _{1}和\triangle_{2}的同时，包含全体有理数证明：在把实数域IR分割成两个部分△1和△2的同时，包含全体有理数
的 系 统 R 也 被 分 成 了 两 部 分 A 1 和 A 2 ， A 1 包 含 了 所 有 △ 1 中 的 有 理 数 ， A 2 包 的系统R也被分成了两部分A_{1}和A_{2}，A_{1}包含了所有\triangle_{1}中的有理数，A_{2}包的系统R也被分成了两部分A1和A2，A1包含了所有△1中的有理数，A2包
含 了 其 余 的 全 部 有 理 数 ， 即 △ 2 中 的 全 体 有 理 数 。 假 设 α 是 产 生 ( A 1 , A 2 ) 的 数 ， 含了其余的全部有理数，即\triangle_{2}中的全体有理数。假设\alpha是产生(A_{1},A_{2})的数，含了其余的全部有理数，即△2中的全体有理数。假设α是产生(A1,A2)的数，
若 β 是 一 个 异 于 α 的 数 ， 那 么 α 和 β 中 间 存 在 无 穷 多 有 理 数 c 。 此 时 ： 若\beta是一个异于\alpha的数，那么\alpha和\beta中间存在无穷多有理数c。此时：若β是一个异于α的数，那么α和β中间存在无穷多有理数c。此时：
( 1 ) 若 β < α , 则 有 ： \quad\quad (1)\quad 若\beta<\alpha,则有：(1)若β<α,则有：
c < α ， 这 样 c 属 于 A 1 ， 自 然 也 属 于 △ 1 , 与 此 同 时 ， 由 于 β < c , 所 以 β 也 \quad\quad\quad\quad c<\alpha，这样c属于A_{1}，自然也属于\triangle_{1},与此同时，由于\beta<c,所以\beta也c<α，这样c属于A1，自然也属于△1,与此同时，由于β<c,所以β也
属 于 △ 1 ； \quad\quad\quad\quad 属于\triangle_{1}；属于△1；
( 2 ) 若 β > α , 则 有 ： \quad\quad (2)\quad 若\beta>\alpha,则有：(2)若β>α,则有：
c > α ， 这 样 c 属 于 A 2 ， 自 然 也 属 于 △ 2 , 与 此 同 时 ， 由 于 c < β , 所 以 β 也 \quad\quad\quad\quad c>\alpha，这样c属于A_{2}，自然也属于\triangle_{2},与此同时，由于c<\beta,所以\beta也c>α，这样c属于A2，自然也属于△2,与此同时，由于c<β,所以β也
属 于 △ 2 ； \quad\quad\quad\quad 属于\triangle_{2}；属于△2；
这 样 ， 每 个 异 于 α 的 数 β 或 者 属 于 类 △ 1 或 者 属 于 类 △ 2 , 取 决 于 β 这样，每个异于\alpha的数\beta或者属于类\triangle_{1}或者属于类\triangle_{2},取决于\beta这样，每个异于α的数β或者属于类△1或者属于类△2,取决于β > α \alphaα还是
β \betaβ < α \alphaα;于是α 或 者 是 △ 1 中 的 最 大 值 ， 或 者 是 △ 2 中 的 最 小 值 ， 即 α 是 一 个 且 \alpha或者是\triangle_{1}中的最大值，或者是\triangle_{2}中的最小值，即\alpha 是一个且α或者是△1中的最大值，或者是△2中的最小值，即α是一个且
是 唯 一 一 个 产 生 分 割 ( △ 1 , △ 2 ) 的 数 。 证 毕 。 是唯一一个产生分割(\triangle_{1},\triangle_{2})的数。证毕。是唯一一个产生分割(△1,△2)的数。证毕。
四 实 数 的 四 则 运 算 \quad\quad 四\quad实数的四则运算四实数的四则运算
将 实 数 范 围 的 任 意 操 作 缩 小 到 有 理 数 范 围 时 ， 只 需 用 α 和 β 生 成 的 \quad\quad 将实数范围的任意操作缩小到有理数范围时，只需用\alpha和\beta 生成的将实数范围的任意操作缩小到有理数范围时，只需用α和β生成的
类 ( A 1 , A 2 ) 和 ( B 1 , B 2 ) 定 义 分 割 ( C 1 , C 2 ) 即 可 ， 该 分 割 对 应 于 这 个 操 作 的 结 果 γ 。 类(A_{1},A_{2})和(B_{1},B_{2})定义分割(C_{1},C_{2})即可，该分割对应于这个操作的结果\gamma。类(A1,A2)和(B1,B2)定义分割(C1,C2)即可，该分割对应于这个操作的结果γ。
本 文 只 讨 论 最 简 单 的 加 法 操 作 的 情 形 （ 这 里 的 ( A 1 , A 2 ) ， ( B 1 , B 2 ) 均 为 本文只讨论最简单的加法操作的情形（这里的(A_{1},A_{2})，(B_{1},B_{2})均为本文只讨论最简单的加法操作的情形（这里的(A1,A2)，(B1,B2)均为
有理数分割）。
设 c 是 任 意 有 理 数 ， 如 果 在 A 1 中 存 在 a 1 ， B 1 中 存 在 b 1 , 有 c ≤ a 1 + b 1 ， \quad\quad 设c是任意有理数，如果在A_{1}中存在a_{1}，B_{1}中存在b_{1},有c\leq a_{1}+b_{1}，设c是任意有理数，如果在A1中存在a1，B1中存在b1,有c≤a1+b1，
$那么c属于C_{1}类，其他有理数归于C_{2}。这样一个对全体有理数进行的分割;
C 1 , C 2 ， 显 然 构 成 了 一 个 分 划 （ c u t ） , 因 为 每 一 个 C 1 中 的 数 c 1 ， 都 小 于 C 2 中 C_{1},C_{2}，显然构成了一个分划（cut）,因为每一个C_{1}中的数c_{1}，都小于C_{2}中C1,C2，显然构成了一个分划（cut）,因为每一个C1中的数c1，都小于C2中
的 每 个 数 c 2 。 若 α 和 β 都 是 有 理 数 ， 那 么 包 含 于 C 1 中 的 每 个 数 c 1 都 ≤ α + β , 的每个数c_{2}。若\alpha和\beta都是有理数，那么包含于C_{1}中的每个数c_{1}都\leq \alpha+\beta,的每个数c2。若α和β都是有理数，那么包含于C1中的每个数c1都≤α+β,
这 是 因 为 a 1 ≤ α , b 1 ≤ β ， 故 有 a 1 + b 1 ≤ α + β ； 更 近 一 步 ， 假 设 C 2 中 包 含 这是因为a_{1}\leq \alpha,b_{1}\leq \beta，故有a_{1}+b_{1}\leq \alpha+\beta；更近一步，假设C_{2}中包含这是因为a1≤α,b1≤β，故有a1+b1≤α+β；更近一步，假设C2中包含
c 2 , 有 c 2 < α + β , 于 是 有 α + β = c 2 + p , 这 里 p 是 正 有 理 数 ， 那 么 有 c_{2},有c_{2}<\alpha+\beta,于是有\alpha+\beta=c_{2}+p,这里p是正有理数，那么有c2,有c2<α+β,于是有α+β=c2+p,这里p是正有理数，那么有
c 2 = ( α − 1 2 p ) + ( β − 1 2 p ) \quad\quad\quad\quad\quad c_{2}=(\alpha-\frac{1}{2}p)+(\beta-\frac{1}{2}p)c2=(α−21p)+(β−21p)
与 c 2 定 义 矛 盾 ， 因 为 α − 1 2 p 属 于 A 1 ， β − 1 2 p 属 于 B 1 。 由 此 可 见 ， 与c_{2}定义矛盾，因为\alpha-\frac{1}{2}p属于A_{1}，\beta-\frac{1}{2}p属于B_{1}。由此可见，与c2定义矛盾，因为α−21p属于A1，β−21p属于B1。由此可见，
C 2 中 的 每 个 数 c 2 都 有 c 2 ≥ α + β 。 由 此 可 见 ， 在 这 种 情 况 下 ， 分 划 （ C 1 ， C 2 ） C_{2}中的每个数c_{2}都有c_{2}\geq \alpha+\beta。由此可见，在这种情况下，分划（C_{1}，C_{2}）C2中的每个数c2都有c2≥α+β。由此可见，在这种情况下，分划（C1，C2）
由 α + β 的 和 定 义 。 我 们 把 实 数 α + β 的 和 理 解 由\alpha + \beta的和定义。我们把实数\alpha+\beta的和理解由α+β的和定义。我们把实数α+β的和理解
为 产 生 分 割 ( C 1 , C 2 ) 的 数 字 γ , 就 不 会 违 反 有 理 数 中 的 加 法 定 义 。 为产生分割(C_{1},C_{2})的数字\gamma,就不会违反有理数中的加法定义。为产生分割(C1,C2)的数字γ,就不会违反有理数中的加法定义。
进 一 步 考 虑 ， 如 果 α 和 β 中 只 有 一 个 有 理 数 ， 例 如 ， α 是 有 理 数 ， β 是 无 理 数 ， 进一步考虑，如果\alpha和\beta中只有一个有理数，例如，\alpha是有理数，\beta是无理数，进一步考虑，如果α和β中只有一个有理数，例如，α是有理数，β是无理数，
易 见 ， 不 管 α 属 于 A 1 还 是 A 2 ， 和 依 然 是 γ = α + β ， 没 有 任 何 不 同 。 易见，不管\alpha属于A_{1}还是A_{2}，和依然是\gamma=\alpha+\beta，没有任何不同。易见，不管α属于A1还是A2，和依然是γ=α+β，没有任何不同。
戴德金--连续性和无理数--我自己做的中文翻译第10页
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