[信号]序列及其傅里叶变换对称性质的整理

1.任何一个序列可表示成偶序列和奇序列之和

$$x(n) = x_e(n) + x_o(n)$$ $$x_e(n) = \frac {1}{2}[x(n) + x(-n)]$$ $$x_0(n) = \frac {1}{2}[x(n) - x(-n)]$$
由此可推出：当 $x(n)$是因果序列时，可以从偶序列 $x_e(n)$中恢复出 $x(n)$，也可以由奇序列 $x_o(n)$和 $x(0)$恢复出 $x(n)$。

2.若该序列是一个复序列，则其还可表示成共轭对称序列$x_e(n)$和共轭反对称序列$x_o(n)$之和。

$$x(n) = x_e(n) + x_o(n)$$ $$x_e(n) = \frac {1}{2}[x(n) + x^*(-n)]$$ $$x_0(n) = \frac {1}{2}[x(n) - x^*(-n)]$$
据此可推出：

若该序列是实序列，则转换成了’1’种所述的奇偶分解，因为对于实序列有 $$x^*(-n) = x(-n)$$
3.据以上两点，可推出：
a.若 $x(n)$是实因果序列，则只要知道 $Re[X(e^{jw}]$,就可通过IDTFT求得 $x_e(n)$，从而可以还原出 $x(n)$，并得到 $X(e^{jw})$。
b.若 $x(n)$是实因果序列，则只要知道 $j*Im[X(e^{jw}]$和 $x(0)$,就可通过IDTFT求得 $x_o(n)$，从而可以还原出 $x(n)$，并得到 $X(e^{jw})$。