1 神经网络为什么需要非线性激活函数？

首先我们来看下线性和非线性函数
线性变换函数，比如：$$y=2x$$ $$y=x$$
非线性变换函数，比如：$$y=2x^2$$ $$y=cosx$$
非线性函数是指的一阶导数不为常数的函数
如果神经网络激活函数用线性函数，则网络的输出$y$还是$x$输入的一个线性函数，则模型无法表征非线性函数的输出
比如在第一层神经元：$$a_1=w_{1}x+b_1$$
第二层神经元：$$a_2=w_2{a}_1+b_2=w_2(w_{1}x+b_1)+b_2$$
$$=(w_2{w}_1)x+(w_2{b}_1+b_2)=w^{{}^{\prime }}x+b^{{}^{\prime }}$$
…
$y$的输出是$x$的线性关系，线性函数的组合还是线性函数，所以网络再深，最后输出的$y$还是$x$的线性函数。所以用非线性激活函数，神经网络理论上可以逼近任意函数。
那么对于我们常见的非线性激活函数，他们各自又有什么特点和缺陷？

2 Sigmoid

数学表达式：
$$f(x)=\frac{1}{1+e^{-x}}$$
函数图形：

$f(x)$的导数数学表达式：$$f(x{)}^{{}^{\prime }}=f(x)(1-f(x))$$函数导数图形：

python实现如下：

import numpy as np
def sigmoid(x，derivative=False):
	if derivative == True:
		return x * (1 - x)
	return 1 / (1+np.exp(-x))

2.1缺陷

2.1.1 梯度消失

我们知道$f(x)=sigmoid(x)$其中$maxf(x{)}^{{}^{\prime }}=1/4$，根据BP算法中的链式法则，当网络很深的时候，小于1的数（1/4）累乘会趋向于0，如下图所示：

我们令${\theta }_u(t)$表示第$t$层神经元$u$的残差，$f_v(x)$表示为神经元v经过激活函数$f(x)$的输出，则有如下公式：
$$\frac{\partial {\theta }_v(t-q)}{\partial {\theta }_u(t)}=\{\begin{array}{l}{f}_v^{{}^{\prime }}(ne{t}_v(t-1))w_{uv}ifq=1\\ f_v^{{}^{\prime }}(ne{t}_v(t-q)){\sum }_{l=1}^n\frac{\partial {\theta }_l(t-q+1)}{\partial \theta (t)}{w}_{lv}else\end{array}$$
则 $$\left|\begin{array}{c}\frac{\partial \theta (t-q)}{\partial \theta (t)}\end{array}\right|=\left|\begin{array}{c}{\prod }_{m=1}^{q}WF(Net(t-m))\end{array}\right|\le (\left|\begin{array}{c}W\end{array}\right|ma{x}_{Net}\{\left|\begin{array}{c}{F}^{{}^{\prime }}(Net)\end{array}\right|\}{)}^q$$
其中$max{f}^{{}^{\prime }}=1/4$;则当$\left|\begin{array}{c}W\end{array}\right|<4$时候，上式子将会是一个小于1的值的$q$次乘方，则模型越往前传播，梯度会越来越小，甚至接近0，出现梯度消失现象，网络中的参数没法学习更新的情况。

2.2.2 Output非zero-centered

sigmoid函数，将输出值映射到 (0,1)之间，都是正数，没有负数，这导致网络的学习表达能力将会受到限制。

3 Tanh

数学表达式：
$$f(x)=\frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}=\frac{2}{1+e^{-2x}}-1=2sigmoid(2x)-1$$
从公式可以看出，tanh函数就是sigmoid函数的一个简单缩放，输出值在（-1,1)之间，输出是以0为中心的。
函数图形：

$f(x)$的导数数学表达式：
$$f(x{)}^{{}^{\prime }}=1-f(x{)}^2$$

函数导数图形：

python实现如下：

def tanh(x, derivative=False):
	if devivative == True:
		return (1 - (x ** 2))
	return np.tanh(x)

3.1 缺陷

修正了sigmoid函数输出非0为中心的问题，但是还是不能解决梯度消失的问题

4 ReLu

ReLu（Rectified Linear Unit）数学表达式：
$$f(x)=max(0,x)$$
函数图形：

函数导数数学表达式：
$$f(x{)}^{{}^{\prime }}=\{\begin{array}{l}1x>0\\ 0x\le 0\end{array}$$

函数导数图形：

这里需要说明的一点是，ReLu是非线性函数，因为导数不是一个常数，虽然看着简单，但是ReLu函数是分段函数，组合可以逼近任意函数。
ReLu函数，时间和空间复杂度最低，也不需要更高的指数运算，而且能够缓解梯度消失问题。

4.1 缺陷

ReLu函数的一个缺陷是会引入死亡问题。什么叫“死亡问题”?
首先让我们来回顾下网络模型更新过程中的BP算法：

如上图所示，假设我们用平方和损失函数： $$E=\frac{1}{2}\sum _{j=1}^M(y_j-t_j{)}^2$$ 其中$t=\{t_1,...,t_m\}$是一个M维度的向量，代表的是每个样本的真实label标签。$y_j$是输出预测的第$j$个输出label值。BP反向传播更新参数梯度如下公式：
step1 :计算神经元输出值的导数
$$\frac{\partial E}{\partial y_j}=y_j-t_j$$
step2: 计算神经元输入值的导数（通常称为“残差”）
$$\frac{\partial E}{\partial u_j}=\frac{\partial E}{\partial y_j}.\frac{\partial y_j}{\partial u_j}=(y_j-t_j).f(x{)}^{{}^{\prime }}=(y_j-t_j).y_j(1-y_j)=e_j$$
若$f(x)$为sigmoid激活函数
step3: 计算权重梯度
$$\frac{\partial E}{\partial w_{ij}^{{}^{\prime }}}=\frac{\partial E}{\partial u_j}.\frac{\partial u_j}{\partial w_{ij}^{{}^{\prime }}}=e_j.h_i$$也就是第$n$层的第$i$个神经元与第$n+1$层的第$j$个神经元连接的权重$w_{ij}^{{}^{\prime }}$的每一次更新的梯度$\Delta w_{ij}^{{}^{\prime }}$就是第n层的第$i$个神经元的输出值乘以第n+1层的第$j$个神经元的残差
若输入$x\le 0$则经过ReLu激活函数后，神经元的输出为0，所谓的“死忙问题”，那么连接的该神经元的权重梯度为0，导致权重无法更新问题，神经元处于死忙状态。

5 Leaky ReLu

Rectifier Nonlinearities Improve Neural Network Acoustic Models
数学表达式如下：
$$f(x)=\{\begin{array}{l}xx>0\\ axx\le 0\end{array}$$
函数图形如下：

函数导数数学表达式：$$f(x{)}^{{}^{\prime }}=\{\begin{array}{l}1x>0\\ ax\le 0\end{array}$$
图像如下：

其中$a$，是一个很小的常数，避免神经元输出为0，缓解了ReLu的“死忙问题”，但是$a$是一个人工定的参数，不够灵活，所以，有一些工作，比如像Parametric ReLu把$a$当做一个参数进行训练，网络自适应学习得来。

6 ELU

FAST AND ACCURATE DEEP NETWORK LEARNING BY
EXPONENTIAL LINEAR UNITS
数学表达式：
$$f(x)=\{\begin{array}{l}xx>0\\ a(e^x-1)x\le 0\end{array}$$
函数图形：

导数数学表达式：
$$f(x{)}^{{}^{\prime }}=\{\begin{array}{l}1x>0\\ a+f(x)x\le 0\end{array}$$
导数图形：

其中$a$是一个很小的常数。整体来看，Leaky ReLu，ELU以及其它的一些变体，都是在保证ReLu激活函数优势的情况下，缓解神经元"死忙"问题，从ELU公式可以看出，$x$小于0的部分，用一个指数变化形式，相对复杂一些，计算开销比Leaky ReLu要高，但输出更加平滑。

7 GeLu

7.1 基础知识回顾

7.1.1 正态分布

正态分布又名高斯分布，是一个非常常见的连续概率分布。若随机变量$X$服从一个位置参数$\mu$、尺度参数$\sigma$的正态分布，记为：$$X\sim N(\mu ,{\sigma }^2)$$则其概率密度函数为$$f(x)=\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi }}{e}^{-\frac{(x-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}}$$
正态分布的数学期望值$\mu$等于位置参数，决定了分布的位置，其方差${\sigma }^2$的开平方或标准差$\sigma$等于尺度参数，决定了分布的幅度。我们通常说的标准正态分布是位置参数$\mu =0$，尺度参数${\sigma }^2=1$的正态分布，下图展示了不同$\mu$和$\sigma$的正态分布图

拉普拉斯在误差分析实验中使用了正态分布，勒让德于1805年引入最小二乘法这一重要方法，而高斯则宣传在1794年就使用了该方法，并通过假设误差服从正态分布。
有几种不同的方法用来说明一个随机变量，最直观的方法是概率密度函数，这种方法能够表示随机变量每个取值多大的可能性。

7.1.2 概率密度函数

正态分布的概率密度函数均值为$\mu$，方差为$\sigma$是高斯函数的一个实例：
$$f(x;\mu ,\sigma )=\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi }}exp(-\frac{(x-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2})$$如果一个随机变量$X$服从这个分布，我们写作$X\sim N(\mu ,{\sigma }^2)$。如果$\mu =0$并且$\sigma =1$，这个分布被称为标准正态分布，这个分布简化为：$$f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}exp(-\frac{x^2}{2})$$，下图给出了不同参数的正态分布的函数图：

7.1.3 累积分布函数

累积分布函数是指随机变量$X$小于或等于$x$的概率，用概率密度函数表示为$$F(x;\mu ,\sigma )=\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi }}{\int }_{-\infty }^{x}exp(-\frac{{(t-\mu )}^2}{2{\sigma }^2})dt$$
标准正态分布的累积分布函数习惯上记为$\Phi$，它仅仅是$\mu =0$, $\sigma =1$时的值，
$$\Phi (x)=F(x;0,1)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{\int }_{-\infty }^{x}exp(-\frac{t^2}{2})dt$$
正态分布的累积分布函数能够由一个叫做误差函数的特殊函数表示：
$$\Phi (z)=\frac{1}{2}\left[\begin{array}{c}1+erf(\frac{z-\mu }{\sigma \sqrt{2}})\end{array}\right]$$
标准正态分布的累积分布函数习惯上记为Φ，它仅仅是指$\mu =0，\sigma =1$时的值，用误差函数表示的公式简化为：
$$\Phi (z)=\frac{1}{2}\left[\begin{array}{c}1+erf(\frac{z}{\sqrt{2}})\end{array}\right]$$
其中$erf(x)$，称为误差函数（也称为高斯误差函数），它的定义如下：
$$erf(x)=\frac{1}{\sqrt{\pi }}{\int }_{-x}^x{e}^{-t^2}dt=\frac{2}{\sqrt{\pi }}{\int }_0^x{e}^{-t^2}dt$$
累积分布函数图形如下：

7.1.4 Φ(x)与erf(x)函数关系公式推导

$\Phi (x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{\sum }_{-\infty }^x{e}^{-\frac{t^2}{2}}dt=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2\pi }}{\sum }_{-\infty }^x{e}^{-(\frac{t}{\sqrt{2}}{)}^2}d\frac{t}{\sqrt{2}}$

$=\frac{1}{\pi }{\sum }_{-\infty }^{\frac{x}{\sqrt{2}}}{e}^{-z^2}dz=\frac{1}{\pi }{\sum }_{-\infty }^0{e}^{-z^2}dz+\frac{1}{\pi }{\sum }_0^{\frac{x}{\sqrt{2}}}{e}^{-z^2}dz$

$=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}erf(\frac{x}{\sqrt{\pi }})=\frac{1}{2}\left[\begin{array}{c}1+erf(\frac{x}{\sqrt{2}})\end{array}\right]$

8 GeLu激活函数

GAUSSIAN ERROR LINEAR UNITS (GELUS)
论文中对比了GeLu激活函数在试验效果比ReLu，ELU都好，加上在bert中的应用，最近引起了广泛的关注。
函数数学公式：
$$f(x)=xP(X\le x)=x\Phi (x)$$
其中 $$\Phi (x)=\frac{1}{2}\left[\begin{array}{c}1+erf(\frac{x}{\sqrt{2}})\end{array}\right]（1）$$
$X\sim N(0,1),\Phi (x)$是标准正态分布的累积分布函数，论文提供的近似求解公式：
$$f(x)=x\Phi (x)=0.5x(1+tanh[\sqrt{2/\pi }(x+0.044715x^3)])（2）$$
函数图形：

函数导数图形：

8.1 GeLu激活函数的直观理解

GeLu函数综合了dropout和ReLu的特色，从上面公式我们也可以看出，从ReLu, Leakly ReLu，ELU等，都是在对输入神经元乘以1或者0或者一个$a$常量进行变化，当$x\ge 0$的时候，以上三个函数都是乘以1作为神经元的输出，当$x\le 0$的时候，则乘以0或者$a$作为神经元的输出。
但GeLu是对$x$乘以标准正态分布的累积分布函数，根据$x$的输入，平滑的进行变化，随着x变小，$\Phi (x)$变小，则神经元的输入$x$会以大概率的情况下“丢弃"，整个过程相对ReLu激活函数更smooth

8.2 GeLu函数的公式推导

误差函数与标准正态分布的积分累积分布函数的关系为：$$\Phi (x)=\frac{1}{2}\left[\begin{array}{c}1+erf(\frac{x}{\sqrt{2}})\end{array}\right]$$
从上述(1)和(2)公式可以看出，需要证明：
$$erf(\frac{x}{\sqrt{2}})\approx tanh(\sqrt{\frac{2}{\pi }}(x+a{x}^3))$$其中$a\approx 0.044715$

证明如下：
泰勒级数
在数学上，对于一个实数或复数$a$领域上，以实数作为变量或以复数作为变量的函数，并且是无穷可微的函数$f(x)$，它的泰勒级数是以下这种形式的幂级数：
$$f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a{)}^n$$这里$n!$表示$n$的阶乘，而$f^{(n)}(a)$表示函数$f$在点$a$处的$n$阶导数，如果$a=0$，也可以把这个级数称为麦克劳林级数。
指数函数$e^x$的等价幂级数:
$$e^x=1+\sum _{n=1}^{\infty }\frac{x^n}{n!}=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+...$$
$tanh(x)$的泰勒级数：$$tanh(x)=x-\frac{x^3}{3}+o(x^3)$$
$erf(x)$的泰勒级数：$$erf(x)=\frac{2}{\sqrt{\pi }}(x-\frac{x^3}{3})+o(x^3)$$
$$tanh(\sqrt{\frac{2}{\pi }}(x+a{x}^3))=\sqrt{\frac{2}{\pi }}(x+(a-\frac{2}{3\pi })x^3)+o(x^3)\text{（3） }$$
$$erf(\frac{x}{\sqrt{2}})=\sqrt{\frac{2}{\pi }}(x-\frac{x^3}{6})+o(x^3)\text{（4） }$$
令公式（3）和公式（4）相等，则$a\approx 0.04553992412$，与论文中$a$为0.044715十分接近。

bert中的glue函数实现如下：

def gelu(x):
	cdf = 0.5 * (1.0 + tf.tanh(
		(np.sqrt(2 / np.pi) * (x + 0.044715 * tf.pow(x,3))))
	return x * cdf

说明：本文图片素材来源Casper Hansen博文以及wikipedia