Reference:

1. 如何理解傅立叶级数公式？
2. 从傅立叶级数到傅立叶变换

1. 对周期函数进行分解的猜想

拉格朗日等数学家发现某些周期函数(不一定是周期函数)可以由三角函数的和来表示，比如下图中，黑色的斜线就是周期为 $2\pi$ 的函数，而红色的曲线是三角函数之和，可以看出两者确实近似：
而另外一位数学家：傅里叶男爵（1768 －1830）猜测任意周期函数都可以写成三角函数之和。

2. 分解

假设 $f(x)$ 是周期为 $T$ 的函数，傅里叶男爵会怎么构造三角函数的和，使之等于 $f(x)$？

2.1 常数项

对于 $y=C,C\in \mathbb{R}$ 这样的常数函数：

根据周期函数的定义，常数函数是周期函数，周期为任意实数。
所以，分解里面得有一个常数项。

2.2 通过sin(x),cos(x)进行分解

首先，$sin(x)$，$cos(x)$是周期函数，进行合理的加减组合，结果可以是周期函数。

其次，它们的微分和积分都很简单。

然后，$sin(x)$ 是奇函数，即：
$$-sin(x)=sin(-x)$$

从图像上也可以看出，$sin(x)$关于原点对称，是奇函数：
而奇函数与奇函数加减只能得到奇函数，即：
$$f_{\text{odd}}\pm f_{\text{odd}}=f_{\text{odd}}$$

其中，$f_{\text{odd}}$ 表示奇函数。

而 $cos(x)$ 是偶函数，即：
$$cos(x)=cos(-x)$$

从图像上也可以看出，$cos(x)$关于$Y$轴对称，是偶函数：
同样的，偶函数与偶函数加减只能得到偶函数，即：
$$f_{\text{even}}\pm f_{\text{even}}=f_{\text{even}}$$

其中，f${}_{\text{even}}$表示偶函数。

但是任意函数可以分解和奇偶函数之和：
$$f(x)=\frac{f(x)+f(-x)}{2}+\frac{f(x)-f(-x)}{2}=f_{\text{even}}+f_{\text{odd}}$$

所以同时需要$sin(x)$,$cos(x)$。

2.3 保证组合出来周期为T

之前说了，$f(x)$是周期为$T$的函数，我们怎么保证组合出来的函数周期依然为$T$呢？
比如下面这个函数的周期为$2\pi$：

很显然，$sin(x)$的周期也是$2\pi$：

$sin(2x)$的周期也是$2\pi$，虽然最小周期是$\pi$：
很显然，$sin(nx),n\in \mathbb{N}$的周期中都有一个周期为$2\pi$：
更一般的，如果$f(x)$的周期为$T$，那么：
$$sin(\frac{2\pi n}{T}x)cos(\frac{2\pi n}{T}x),n\in \mathbb{N}$$

这些函数的周期都为$T$。将这些函数进行加减，就保证了得到的函数的周期也为$T$。

2.4 调整振幅

现在我们有一堆周期为$2\pi$的函数了，比如说$sin(x),sin(2x),sin(3x),sin(4x),sin(5x)$：
通过调整振幅可以让它们慢慢接近目标函数，比如$sin(x)$看起来处处都比目标函数低一些：
把它的振幅增加一倍：
$2sin(x)$有的地方超出去了，从周期为$2\pi$的函数中选择一个，减去一点：
调整振幅，加加减减，我们可以慢慢接近目标函数：

2.5 小结

综上，构造出来的三角函数之和大概类似下面的样子：
$$f(x)=C+\sum _{n=1}^{\infty }\left(a_n\cos \left(\frac{2\pi n}{T}x\right)+b_n\sin \left(\frac{2\pi n}{T}x\right)\right),C\in \mathbb{R}$$

这样就符合之前的分析：

• 有常数项
• 奇函数和偶函数可以组合出任意函数
• 周期为 $T$
• 调整振幅，逼近原函数

之前的分析还比较简单，后面开始有点难度了。即怎么确定这三个系数：$C{a}_n{b}_n$

3. sin(x) 的另外一种表示方法

直接不好确定，要迂回一下，先稍微介绍一下什么是：$e^{i\omega t}$？

3.1 $e^{i\omega t}$

$e^{i\theta }$ 这种就应该想到复平面上的一个夹角为\theta的向量：
那么当$\theta$不再是常数，而是代表时间的变量$t$的时候：
$$e^{i\theta }\to e^{it}$$

随着时间$t$的流逝，从0开始增长，这个向量就会旋转起来，$2\pi$秒会旋转一圈，也就是$T=2\pi$：

3.2 通过$e^{i\omega t}$表示$sin(t)$

根据欧拉公式，有：
$$e^{it}=cos(t)+isin(t)$$

所以，在时间$t$轴上，把$e^{it}$向量的虚部（也就是纵坐标）记录下来，得到的就是$sin(t)$，代数上用 $Im$ 表示虚部 $sin(t)=Im(e^{it})$：

在时间$t$轴上，把$e^{i2t}$向量的虚部记录下来，得到的就是$sin(2t)$：
如果在时间$t$轴上，把$e^{it}$的实部（横坐标）记录下来，得到的就是$cos(t)$的曲线，代数上用 $Re$ 表示虚部 $cos(t)=Re(e^{it})$：

更一般的我们认为，我们具有两种看待$sin(x)$,$cos(x)$的角度：
$$e^{i\omega t}⟺\{\begin{array}{l}sin(\omega t)\\ cos(\omega t)\end{array}$$

这两种角度，一个可以观察到旋转的频率，所以称为频域；一个可以看到流逝的时间，所以称为时域：

4. 通过频域来求系数

4.1 函数是线性组合

假设有这么个函数：
$$g(x)=sin(x)+sin(2x)$$

是一个$T=2\pi$的函数：
如果转到频域去，那么它们是下面这个复数函数的虚部：
$$e^{it}+e^{i2t}$$

先看看$e^{i\theta }+e^{i2\theta }$，其中$\theta$是常数，很显然这是两个向量之和：
现在让它们动起来，把$\theta$变成流逝的时间$t$，那么就变成了旋转的向量和：
很显然，如果把虚部记录下来，就得到 $g(t)$：

我们令：
$$G(t)=e^{it}+e^{i2t}$$

这里用大写的$G$来表示复数函数。

刚才看到了，$e^{it}$和$e^{i2t}$都是向量，所以上式可以写作：
$$\mathbf{G}(\mathbf{t})={\mathbf{e}}^{\mathbf{it}}+{\mathbf{e}}^{\mathbf{i}2\mathbf{t}}$$

这里就是理解的重点了，从线性代数的角度：

• $e^{it}$和$e^{i2t}$是基
• G(t)是基$e^{it}$,$e^{i2t}$的线性组合

$g(t)$是$G(t)$的虚部，所以取虚部，很容易得到：
$$\overrightarrow{g(t)}=\overrightarrow{sin(t)}+\overrightarrow{sin(2t)}$$

即 $g(t)$ 是基 $sin(t)$,$sin(2t)$ 的线性组合。
那么 $sin(t)$, $sin(2t)$ 的系数，实际上是 $g(t)$ 在基 $sin(t)$, $sin(2t)$ 下的坐标了。

4.2 如何求正交基的坐标

有了这个结论之后，我们如何求坐标？
我们来看个例子，假设：
$$\overrightarrow{w_{}}=2\overrightarrow{u_{}}+3\overrightarrow{v_{}}$$

其中$\overrightarrow{u_{}}=\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right),\overrightarrow{v_{}}=\left(\begin{array}{c}-1\\ 1\end{array}\right)$
通过点积：
$$\overrightarrow{u_{}}\cdot \overrightarrow{v_{}}=0$$

可知这两个向量正交，是正交基。图示如下：

通过点积可以算出$\overrightarrow{u_{}}$的系数(对于正交基才可以这么做)：
$$\frac{\overrightarrow{w_{}}\cdot \overrightarrow{u_{}}}{\overrightarrow{u_{}}\cdot \overrightarrow{u_{}}}=\frac{(1,5)\cdot (-1,1)}{(-1,1)\cdot (-1,1)}=2$$

4.3 如何求 sin(nt) 基下的坐标

在这里抛出一个结论，函数向量的点积是这么定义的：
$$\overrightarrow{f(x)}\cdot \overrightarrow{g_1(x)}={\int }_0^{T}f(x)g_1(x)dx$$

其中，$f(x)$是函数向量，$g_1(x)$是基，$T$是$f(x)$的周期。
那么对于：
$$g(x)=sin(x)+sin(2x)$$

其中，$g_2(x)$是向量，$sin(t),sin(2t)$ 是 基，周期 $T=2\pi$。
根据刚才内积的定义：
$$\overrightarrow{sin(t)}\cdot \overrightarrow{sin(2t)}={\int }_0^{2\pi }sin(t)sin(2t)dt=0$$

所以 $sin(t)$ 和 $sin(2t)$ 互为正交基，那么根据刚才的分析，可以这么求 $g$ 的正交基系数：
$$\frac{\overrightarrow{g_{}}\cdot \overrightarrow{sin(t)}}{\overrightarrow{sin(t)}\cdot \overrightarrow{sin(t)}}=\frac{{\int }_0^{2\pi }g(x)sin(x)dx}{{\int }_0^{2\pi }si{n}^2(x)dx}=1$$

4.4 更一般的

对于我们之前的假设，其中 $f(x)$ 周期为 $T$：
$$f(x)=C+\sum _{n=1}^{\infty }\left(a_{n}cos(\frac{2\pi n}{T}x)+b_{n}sin(\frac{2\pi n}{T}x)\right),C\in \mathbb{R}$$

可以改写为这样：
$$f(x)=C\cdot 1+\sum _{n=1}^{\infty }\left(a_{n}cos(\frac{2\pi n}{T}x)+b_{n}sin(\frac{2\pi n}{T}x)\right),C\in \mathbb{R}$$

也就是说向量 $f(x)$ 的基为(即把$f(x)$当作了如下基的向量)：
$$\{1,cos(\frac{2\pi n}{T}x),sin(\frac{2\pi n}{T}x)\}$$

是的，$1$ 也是基。

该式可以解读为：
$$f(x)=\underset{基1下的坐标}{\underbrace{a_0}}\cdot 1+\sum _{n=1}^{\infty }\left(\underset{对应基的坐标}{\underbrace{a_n}}cos(\frac{2\pi n}{T}x)+\underset{对应基的坐标}{\underbrace{b_n}}sin(\frac{2\pi n}{T}x)\right)$$

那么可以得到(通过上一节求正交基系数的方法计算每一项的系数)：
$$\begin{gathered} a_n=\frac{{\int }_0^{T}f(x)cos(\frac{2\pi n}{T}x)dx}{{\int }_0^{T}co{s}^2(\frac{2\pi n}{T}x)dx}=\frac{2}{T}{\int }_0^{T}f(x)cos(\frac{2\pi n}{T}x)dx \\ {b}_n=\frac{{\int }_0^{T}f(x)sin(\frac{2\pi n}{T}x)dx}{{\int }_0^{T}si{n}^2(\frac{2\pi n}{T}x)dx}=\frac{2}{T}{\int }_0^{T}f(x)sin(\frac{2\pi n}{T}x)dx \end{gathered}$$

$C$ 也可以通过点积来表示，最终我们得到：
$$f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }\left(a_n\cos (\frac{2\pi nx}{T})+b_n\sin (\frac{2\pi nx}{T})\right)$$

其中：
$$\begin{gathered} a_n=\frac{2}{T}{\int }_{x_0}^{x_0+T}f(x)\cdot \cos (\frac{2\pi nx}{T})dx,n\in \{0\}\bigcup \mathbb{N} \\ {b}_n=\frac{2}{T}{\int }_{x_0}^{x_0+T}f(x)\cdot \sin (\frac{2\pi nx}{T})dx,n\in \mathbb{N} \end{gathered}$$

5. 傅里叶级数

5.1 基坐标画到图上

举个例子，$T=2\pi$ 的方波 $f(x)$，可以粗略的写做：
$$f(x)\approx 1+\frac{4}{\pi }sin(x)$$

从几何上看，有那么一丁点相似：

我们可以认为：
$$f(x)\approx 1+\frac{4}{\pi }sin(x)$$

此函数的基为 $\{1,sin(x)\}$。则 $f(x)$ 相当于向量：$(1,\frac{4}{\pi })$

画到图上如下，注意坐标轴不是 $x,y$，而是 $1,sin(x)$：

5.2 频域图

再增加几个三角函数：
$$f(x)\approx 1+\frac{4}{\pi }sin(x)+0sin(2x)+\frac{4}{3\pi }sin(3x)+0sin(4x)+\frac{4}{5\pi }sin(5x)$$

从几何上看，肯定更接近了：

此时基为 $\{1,sin(x),sin(2x),sin(3x),sin(4x),sin(5x)\}$
, 其对应的向量为：$(1,\frac{4}{\pi },0,\frac{4}{3\pi },0,\frac{4}{5\pi })$

六维的向量没有办法画图啊，没关系，数学家发明了一个频域图来表示这个向量：

上图中的 $0,1,2,3,4,5$ 分别代表了不同频率的正弦波函数，也就是之前的基：
$$0Hz⟺sin(0x)3Hz⟺sin(3x)\cdots$$

而高度则代表在这个频率上的振幅，也就是这个基上的坐标分量。
这里举的例子只有正弦函数，余弦函数其实也需要这样一个频谱图，也就是需要两个频谱图。当然还有别的办法，综合正弦和余弦，这个后面再说。
原来的曲线图就称为时域图，往往把时域图和频域图画在一起，这样能较为完整的反映傅立叶级数：

不管时域、频域其实反映的都是同一个曲线，只是一个是用函数的观点，一个是用向量的观点。
当习惯了频域之后，会发现看到频域图，似乎就看到了傅立叶级数的展开：

6. 非周期函数

非周期函数，比如下面这个函数可以写出傅立叶级数吗？
这并非一个周期函数，没有办法写出傅立叶级数。
不过可以变换一下思维，如果刚才的方波的周期：
$$T=2\pi \to T=\infty$$

那么就得到了这个函数：
在这样的思路下，就可以使用三角级数来逼近这个函数：
观察下频域，之前说了，对于周期为 $T$ 的函数 $f(x)$，其基为：$\{1,cos(\frac{2\pi n}{T}x),sin(\frac{2\pi n}{T}x)\}$
刚才举的方波 $T=2\pi$，对应的基就为(没有余弦波)：$\{1,sin(x),sin(2x),sin(3x),sin(4x),sin(5x),\cdots sin(nx)\}$
对应的频率就是：$\{0Hz,1Hz,2Hz,3Hz,4Hz,5Hz,\cdots nHz\}$

按照刚才的思路，如果 $T$ 不断变大，比如让 $T=4\pi$，对应的基就为(没有余弦波)：$\{1,sin(0.5x),sin(x),sin(1.5x),sin(2x),sin(2.5x),\cdots sin(0.5nx)\}$
对应的频率就是：$\{0Hz,0.5Hz,1Hz,1.5Hz,2Hz,2.5Hz,\cdots 0.5nHz\}$
和刚才相比，频率更加密集：
之前的方波的频域图，画了前 $50$ 个频率，可以看到，随着 $T$ 不断变大，这 $50$ 个频率越来越集中：

可以想象，如果：
$$T=2\pi \to T=\infty$$

这些频率就会变得稠密，直至连续，变为一条频域曲线：

傅立叶变换就是，让 $T=\infty$，求出上面这根频域曲线。

7. 傅里叶变换

之前说了，傅立叶级数是：
$$f(x)=a_0+\sum _{n=1}^{\infty }\left(a_{n}cos(\frac{2\pi n}{T}x)+b_{n}sin(\frac{2\pi n}{T}x)\right),a_0\in \mathbb{R}$$

这里有正弦波，也有余弦波，画频域图也不方便，通过欧拉公式，可以修改为复数形式：
$$f(x)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{c}_n\cdot e^{i\frac{2\pi nx}{T}}$$

其中：
$$c_n=\frac{1}{T}{\int }_{x_0}^{x_0+T}f(x)\cdot e^{-i\frac{2\pi nx}{T}}dx$$

复数形式也是向量，可以如下解读：
$$f(x)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\underset{对应基的坐标}{\underbrace{c_n}}\cdot \underset{正交基}{\underbrace{e^{i\frac{2\pi nx}{T}}}}$$

不过 $c_n$ 是复数，不好画频域图，所以之前讲解全部采取的是三角级数。

周期推向无穷的时候可以得到：
$$\begin{array}{r}f(x)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{c}_n\cdot e^{i\frac{2\pi nx}{T}}\\ T=\infty \end{array}\}⟹f(x)={\int }_{-\infty }^{\infty }F(\omega )e^{i\omega x}d\omega$$

上面简化了一下，用 $\omega$ 代表频率($\frac{2\pi n}{T}$ 在这里没有意义，因为是连续的)。

$F(\omega )$ 大致是这么得到的：
$$\begin{array}{r}{c}_n=\frac{1}{T}{\int }_{x_0}^{x_0+T}f(x)\cdot e^{-i\frac{2\pi nx}{T}}dx\\ T=\infty \end{array}\}⟹F(\omega )=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-i\omega x}dx$$

$F(\omega )$ 就是傅立叶变换，得到的就是频域曲线。
下面两者称为傅立叶变换对，可以相互转换：
$$f(x)⟺F(\omega )$$

正如之前说的，这是看待同一个数学对象的两种形式，一个是函数，一个是向量。