齐友明《重温微积分》
空间 – 对象的集合
向量刻画对象，矩阵刻画对象的运动
矩阵是空间中跃迁的描述
变换，所谓变换，就是空间从一个点（元素/对象）到另一个点（元素/对象）的跃迁
”尽管描述一个三维对象只需要三维向量，但所有的计算机图形学变换矩阵都是4 x 4的。说其原因，很多书上都写着“为了使用中方便”，这在我看来简直就是企图蒙混过关。真正的原因，是因为在计算机图形学里应用的图形变换，实际上是在仿射空间而不是向量空间中进行的。想想看，在向量空间里向一个向量平行移动以后仍是相同的那个向量，而现实世界等长的两个平行线段当然不能被认为同一个东西，所以计算机图形学的生存空间实际上是仿射空间。而仿射变换的矩阵表示根本就是4 x 4的。“
《计算机图形学——几何工具算法详解》
“矩阵是线性空间中的线性变换的一个描述。在一个线性空间中，只要我们选定一组基，那么对于任何一个线性变换，都能够用一个确定的矩阵来加以描述。”
“若矩阵A与B是同一个线性变换的两个不同的描述（之所以会不同，是因为选定了不同的基，也就是选定了不同的坐标系），则一定能找到一个非奇异矩阵P，使得A、B之间满足这样的关系：A = P-1BP
线性代数稍微熟一点的读者一下就看出来，这就是相似矩阵的定义。”
线性代数还有比这更奇妙的性质，那就是，矩阵不仅可以作为线性变换的描述，而且可以作为一组基的描述。而且也能够把线性空间中的一个坐标系（基）表换到另一个坐标系（基）去
- 首先有空间，空间可以容纳对象运动的。一种空间对应一类对象。
- 有一种空间叫线性空间，线性空间是容纳向量对象运动的。
- 运动是瞬时的，因此也被称为变换。
- 矩阵是线性空间中运动（变换）的描述。
- 矩阵与向量相乘，就是实施运动（变换）的过程。
- 同一个变换，在不同的坐标系下表现为不同的矩阵，但是它们的本质是一样的，所以本征值相同。
矩阵是一组向量组成的
n维线性空间里的方阵是由n个n维向量组成的
一个对象可以表达为无穷多个合理选择的对象的线性和 – 数学分析的原理
如果一组向量是彼此线性无关的话，那么它们就可以成为度量这个线性空间的一组基，成为一个坐标系体系。
看上去矩阵就是由一组向量组成的，而且如果矩阵非奇异的话（我说了，只考虑这种情况），那么组成这个矩阵的那一组向量也就是线性无关的了，也就可以成为度量线性空间的一个坐标系。结论：矩阵描述了一个坐标系。 ----“卧槽，em?? ”
他的解释：“对象的变换等价于坐标系的变换”或者：
“固定坐标系下一个对象的变换等价于固定对象所处的坐标系变换。” ----“感觉好有道理、、、”
说白了就是：“运动是相对的。” — “相对论的伟大~中国的传统文化大都是以相对论的大架构去做为起点的，这就是中华文化的伟大之处，千年前便已洞悉宇宙真理”
Ma = b
的意思是：
“向量a经过矩阵M所描述的变换，变成了向量b。”
继续… 我昨天在想，魔方 通过公式达到指定的色块到达指定的位置，这个过程也可以称作跃迁或者变换，这个过程够快的话，可以描述作为跃迁。向量通过矩阵变化的运动过程和魔方通过公式变化的过程之间是否会有神奇的联系呢？emm先把文章看完、
矩阵MxN，一方面表明坐标系N在运动M下的变换结果，另一方面，把M当成N的前缀，当成N的环境描述，那么就是说，在M坐标系度量下，有另一个坐标系N。这个坐标系N如果放在I坐标系中度量，其结果为坐标系MxN。
至于矩阵乘以向量为什么要那样规定，那是因为一个在M中度量为a的向量，如果想要恢复在I中的真像，就必须分别与M中的每一个向量进行內积运算。
开始总结：
1.矩阵使向量进行变换，在同一坐标系下不同描述，或者同一向量处以不同坐标系
2.矩阵也是坐标系，向量通过矩阵变换，也就是向量在另一个坐标系的描述
3.向量的变换等价于坐标系的变换，因为运动是相对的
4.矩阵相乘，坐标系的运动（变换 ）
现在的问题是，为什么需要这么多坐标系，存在不同坐标系的意义是什么？ – 根据魔方的经验，我们让对象去选择不同坐标系来描述，是为了方便操作。
在经过变化后的对象，本质到底变没变？会不会有一种情况，对象（向量）在“跃迁”到另一个坐标系，由于这个坐标系极其难描述出这个向量（对象），会不会导致对象本身损坏？不严谨的比喻，浮点型和整型是两个描述数字的坐标系，一个数字在浮点空间是2.22，变换到（强转）到整型空间描述为2，再变换回去浮点空间还是2，意味着破坏？