我们已经见过很多次形如
这样的方程了. 其解的形式我们也已经很清楚了. 对于这样的微分方程需要构造特征方程
. 若
，且
, 那么
. 若
，且
，则
. 若
，且
，那么
.
现在考虑非齐次方程
，其中
. 对于此方程的解
，
.
，那么非齐次方程的通解就是 .
为了证明上面的定理，我们引入算子
.
Definition 1.1假设是一个连续可微的函数，定义
. 即
.
看上去我们只是把一个微分方程写成了比较简单的形式，但是仔细研究之后会发现算子
有很多有趣的性质. 我们先引入一个最平凡的性质：
Corollary 1.2假设是两个连续可微的函数，则有
.也就是说，算子
是线性的.
证明：带入得到
.
Theorem 1.3假设是
的两个解，
是
的通解，那么
是方程
的一个解.
证明：由上述知道
. 于是
. 也就是说
是方程
的一个解.
我们可以很快的从定理1.3推出下一个定理：
Theorem 1.4假设是方程
的一个特解，如果
是该方程的任意一个解，那么一定可以将
写成
的组合. 具体的说，
.
证明：已知
，那么很明显
. 由于
的任意性，很明显得到
. 于是
.
Remark 1.5定理1.4 告诉我们，如果已经知道非齐次方程
的一个解
，想要知道该方程的通解，只需要知道
的通解
，就可以得到非齐次方程的通解
. 实际上从线性代数的角度来说，
这个解把解集平面从
上移到了
.
所以现在的问题是如何找到这样的一个特解
. 比如说如果我们知道方程
，如何猜这样的一个特解？实际上，在等式右边出现的函数大多是正弦、余弦、指数、以及三者的组合，比如
. 实际上，根据欧拉公式，这些情况都可以化成指数函数
，其中
.
我们现在更加抽象一点，把算子
写成微分算子
的一个多项式
. 对于上面的方程来说，
.
Theorem 1.6 Substitution Rule
证明：根据求导运算的规则，我们有
. 所以
. 证毕.
有了定理1.6， 我们可以非常快速的得到下面的推论：
Corollary 1.7对于方程，若
，可以得到方程的一个特解是
.
证明：我们把微分方程改写成算子形式得到
. 令
，可以得到
.
Remark 1.8由推论1.7可以得到，对于
，可以将方程转化到复平面上，即求
，其中
. 然后取实部即可. 此时
就是方程的特解. 同理，对于
，
就是方程的特解.
然而，对于上述的解法，如果
我们就会遇到麻烦. 但是此时，仍然有方法求得方程的通解. 我们先引入下面的定理.
Theorem 1.9 Exponential Shift Rule 为了处理形如这样的形式，令
. 此时
.
证明：首先立刻观察到，如果
，其中
是常数，上述定理显然成立.
接下来从简单的情况入手，即
. 此时
.
再考虑
. 有
同理，对于
有
......
以此类推我们发现对于
，上述定理都是成立的. 那么对于任意的
，我们可以乘上
，得到
. 于是我们得到了
.
通过上面的定理，我们已经准备好证明如果
时的特解公式了. 实际上，我们可以证明推广版本：
Theorem 1.10 GENERALIZED EXPONENTIAL RESPONSE FORMULA
假设
是一个关于
的多项式并且
是该多项式的
次导数. 那么关于微分方程
的特解
证明：如果
，那么也就是说可以把
这个多项式写成
这样的形式.
我们首先证明
.
令
为
的阶数，那么可以把
写成
.
由于
，于是
.
.
于是
.
现在把解
带入
得到
其中第二行是因为
，如果令
，就得到
.
第四行是因为
. 所以
.
证毕
于是我们得到了，如果
的时候，特解由
给出. 实际上通过下面的表格我们可以得出任何情况下的特解，即
当然在加上
之前还要确定一下要不要取实部/虚部. 于是我们得到了通解就是
.
