一个无向连通网络，去掉一个边集可以使其变成两个连通分量则这个边集就是割集；最小割集当然就权和最小的割集。
可以用最小切割最大流定理：
1.min=MAXINT,确定一个源点
2.枚举汇点
3.计算最大流，并确定当前源汇的最小割集，若比min小更新min
4.转到2直到枚举完毕
5.min即为所求输出min
不难看出复杂度很高：枚举汇点要O(n)，最短增广路最大流算法求最大流是O((n^2)m)复杂度，在复杂网络中O(m)=O(n^2)，算法总复杂度就是O(n^5)；哪怕采用最高标号预进流算法求最大流O((n^2)(m^0.5))，算法总复杂度也要O(n^4)
所以用网络流算法求解最小割集复杂度不会低于O(n^4)。
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prim算法不仅仅可以求最小生成树，也可以求“最大生成树”。最小割集Stoer-Wagner算法就是典型的应用实例。
求解最小割集普遍采用Stoer-Wagner算法，不提供此算法证明和代码，只提供算法思路：
1.min=MAXINT，固定一个顶点P
2.从点P用“类似”prim的s算法扩展出“最大生成树”，记录最后扩展的顶点和最后扩展的边
3.计算最后扩展到的顶点的切割值（即与此顶点相连的所有边权和），若比min小更新min
4.合并最后扩展的那条边的两个端点为一个顶点（当然他们的边也要合并，这个好理解吧？）
5.转到2，合并N-1次后结束
6.min即为所求，输出min
prim本身复杂度是O(n^2)，合并n-1次，算法复杂度即为O(n^3)
如果在prim中加堆优化，复杂度会降为O((n^2)logn)
这个Stoer-Wagner算法可以参见这篇paper(http://docs.google.com/fileview?id=0BwxLvD9mcDNtMjk3MWVkMTAtZjMzNi00ZWE3LTkxYjQtYTQwNzcyZTk3Njk2&hl=en), 其核心思想是迭代缩小规模, 算法基于这样一个事实:
对于图中任意两点s和t, 它们要么属于最小割的两个不同集中, 要么属于同一个集.
如果是后者, 那么合并s和t后并不影响最小割. 基于这么个思想, 如果每次能求出图中某两点之间的最小割, 然后更新答案后合并它们再继续求最小割, 就得到最终答案了. 算法步骤如下:
1. 设最小割cut=INF, 任选一个点s到集合A中, 定义W(A, p)为A中的所有点到A外一点p的权总和.
2. 对刚才选定的s, 更新W(A,p)(该值递增).
3. 选出A外一点p, 且W(A,p)最大的作为新的s, 若A!=G(V), 则继续2.
4. 把最后进入A的两点记为s和t, 用W(A,t)更新cut.
5. 新建顶点u, 边权w(u, v)=w(s, v)+w(t, v), 删除顶点s和t, 以及与它们相连的边.
6. 若|V|!=1则继续1.
看起来很简单, 每次像做最大生成树一样选最大”边”(注意, 这里其实不是边, 而是已经累计的权值之和, 就当是加权的度好了), 然后把最后进入的两个点缩到一块就可以了. 合并点最多有n-1次, 而不加堆优化的prim是O(n^2)的, 所以最终复杂度O(n^3), 要是你有心情敲一大坨代码, 还可以在稀疏图上用Fibonacci Heap优化一下, 不过网上转了一圈, 大多都是说能用Fibonacci Heap优化到怎样怎样的复杂度, 真正能自己写出来的恐怕也没几个, 看看uoregon(俄勒冈大学)的一大坨代码就有点寒. (http://resnet.uoregon.edu/~gurney_j/jmpc/fib.html)
特别注意几个地方, 网上的好几个Stoer-Wagner版本都存在一些小错误:
1. 算法在做”最大生成树”时更新的不是普通意义上的最大边, 而是与之相连的边的权值和, 当所有边都是单位权值时就是累计度.
2. “最后进入A的两点记为s和t”, 网上对s有两种解释, 一是在t之前一个加进去的点, 二是t的前趋节点, 也就是最后选择的那条边的另一端. 正解是第一种!
3. 对于稠密图, 比如这题, 我用堆, 映射二分堆, 或者STL的优先队列都会TLE, 还不如老老实实O(n^3).
1
#include <iostream>
2#include <cmath>
3using namespace std;
4int mat[600][600];
5int res;
6//Stoer-Wagner算法，加了自己看得懂的备注
7//无向图全局最小割，用求prim类似方法o（n^3)，学习了一个下午……
8//一开始用枚举源点汇点的最大流求解，复杂度o(n^5) 超时
9int min(int a,int b)
10{
11
if(a<b) return a;
12 else return b;
13
}
14
15void Mincut(int n)
16{
17 int node[600], dist[600];
18 bool visit[600];
19 int i, prev, j, k;
20 for (i = 0; i < n; i++)
21 node[i] = i;
22 while (n > 1)
23
{
24 int maxj = 1;
25 for (i = 1; i <n; i++) //初始化到已圈集合的割大小
26 {
27 dist[node[i]] = mat[node[0]][node[i]];
28 if (dist[node[i]] > dist[node[maxj]])
29 maxj = i;
30
}
31 prev = 0;
32 memset(visit, false, sizeof (visit));
33 visit[node[0]] = true;
34 for (i = 1; i < n; i++)
35 {
36 if (i == n – 1)//只剩最后一个没加入集合的点，更新最小割
37 {
38 res = min(res, dist[node[maxj]]);
39 for (k = 0; k < n; k++) //合并最后一个点以及推出它的集合中的点
40 {
41 mat[node[k]][node[prev]]=(mat[node[prev]][node[k]]+=mat[node[k]][node[maxj]]);
42 }
43 node[maxj] = node[—n]; //缩点后的图
44 }
45 visit[node[maxj]] = true;
46 prev = maxj;
47 maxj = –1;
48 for (j = 1; j < n; j++)
49 {
50 if (!visit[node[j]]) //将上次求的maxj加入集合，合并与它相邻的边到割集
51 {
52 dist[node[j]] += mat[node[prev]][node[j]];
53 if (maxj == –1 || dist[node[maxj]] < dist[node[j]])
54 maxj = j;
55 }
56 }
57 }
58
59 }
60 return;
61}
62
63int main()
64 {
65 int n, m, a, b, v;
66 while (scanf(“%d%d“, &n, &m) != EOF)
67 {
68 res = (1 << 29);
69 memset(mat, 0, sizeof (mat));
70 while (m—)
71 {
72 scanf(“%d%d%d“, &a, &b, &v);
73 mat[a][b] += v;
74 mat[b][a] += v;
75 }
76 Mincut(n);
77 printf(“%d\n“, res);
78 }
79 return 0;
80}
81