一、定义
矩阵的偏迹运算是量子力学中的一种特殊的运算，它是一种特殊的矩阵迹运算。只不过这种取迹的过程并不是对全空间展开的，而是对某一个子空间。
如果有两个希尔伯特空间分别记为
H
A
H_{A}
HA和
H
B
H_{B}
HB，它们可以分别用来表示两个量子系统A和B，那么就能对这两个空间做直积运算，从而得到系统A与B的复合系统，记为：
H
A
,
B
=
H
A
⨂
H
B
H_{A, B}=H_{A} \bigotimes H_{B}
HA,B=HA⨂HB
设空间
H
A
,
B
H_{A, B}
HA,B中的密度矩阵为
ρ
A
,
B
\rho_{A, B}
ρA,B。再设
{
w
i
∣
i
=
1
,
2
,
…
,
N
B
}
\left\{w_{i} | i=1,2, \ldots, N_{B}\right\}
{wi∣i=1,2,…,NB}为空间
H
B
H_{B}
HB的一组基矢，其中
N
B
N_{B}
NB为空间
H
B
H_{B}
HB的维度，那么定义
ρ
A
,
B
\rho_{A, B}
ρA,B对子系统B求偏迹为：
ρ
A
=
Tr
B
(
ρ
A
,
B
)
=
∑
i
=
1
N
B
⟨
w
i
∣
ρ
A
,
B
∣
w
i
⟩
\rho_{A}=\operatorname{Tr}_{B}\left(\rho_{A, B}\right)=\sum_{i=1}^{N_{B}}\left\langle w_{i}\left|\rho_{A, B}\right| w_{i}\right\rangle
ρA=TrB(ρA,B)=∑i=1NB⟨wi∣ρA,B∣wi⟩
上式是按照狄拉克记号写的。其中
⟨
w
i
∣
ρ
A
,
B
∣
w
i
⟩
\left\langle w_{i}\left|\rho_{A, B}\right| w_{i}\right\rangle
⟨wi∣ρA,B∣wi⟩表示
P
A
,
B
P_{A, B}
PA,B与wi做内积。但是，
P
A
,
B
P_{A, B}
PA,B是复合希尔伯特空间
H
A
,
B
H_{A, B}
HA,B中的矩阵，而
w
i
w_i
wi是空间
H
B
H_B
HB中的变量，所以这两者做内积就比较特殊。
