§1.基本概念
时间序列是以观测值发生的时期作为标记的数据集合。一般情况下，我们是从某个特定的时间开始采集数据，直到另一个固定的时间为止，我们可以将获得的数据表示为:
( y 1 , y 2 , . . . , y T ) (y_1,y_2,...,y_T)(y1,y2,...,yT)
如果能够从更早的时间开始观测，或者观测到更晚的时期,那么上面的数据区间可以进一·步扩充。相对而言，上述数据只是一个数据的片段，整个数据序列可以表示为:
( . . . , y 1 , y 2 , . . . , y T , . . . ) = { y t } t = − ∞ t = + ∞ (...,y_1,y_2,...,y_T,...)=\{y_t\}_{t=-\infty}^{t=+\infty}(...,y1,y2,...,yT,...)={yt}t=−∞t=+∞
例1.1:几种代表性的时间序列
(1)时间趋势本身也可以构成一个时间序列，此时: y t = t y_t=tyt=t ;
(2) 另一种特殊的时间序列是常数时间序列，即: y t = c y_t=cyt=c，c cc是常数，这种时间的取值不受时间的影响;
(3)在随机分析中常用的一种时间序列是高斯白噪声过程，表示为: y t = ε t y_t =ε_tyt=εt，{ ε t } t = − ∞ t = + ∞ \{ε_t\}_{t=-\infty}^{t=+\infty}{εt}t=−∞t=+∞是一个独立随机变量序列，每个随机变量都服从N ( 0 , σ 2 ) N(0, σ^2)N(0,σ2)分布。
时间序列之间也可以进行转换,类似于使用函数关系进行转换。它是将输入时间序列转换为输出时间序列。
例1.2:几种代表性的时间序列转换
(1) 假设x t x_txt是一个时间序列，假设转换关系为: y t = β x t y_t=βx_tyt=βxt，这种算子是将一个时间序列的每一个时期的值乘以常数转换为一个新的时间序列。
(2) 假设x t x_txt和w t w_twt是两个时间序列，算子转换方式为: y t = x t + w t y_t=x_t +w_tyt=xt+wt，此算子是将两个时间序列求和。
定义1.1:如果算子运算是将一个时间序列的前一期值转化为当期值，则称此算子为滞后算子，记做L LL。即对任意时间序列x t x_txt，滞后算子满足:
L ( x t ) ≡ x t − 1 ( 1 ) L(x_t)\equiv x_{t-1}\qquad(1)L(xt)≡xt−1(1)
类似地，可以定义高阶滞后算子，例如二阶滞后算子记为L 2 L^2L2，对任意时间序列x t x_txt，二阶滞后算子满足:
L 2 ( x t ) ≡ L [ L ( x t ) ] = x t − 2 ( 2 ) L^2(x_t)\equiv L[L(x_t)]=x_{t-2}\qquad(2)L2(xt)≡L[L(xt)]=xt−2(2)
一般地，对于任意正整数k kk，有：
L k ( x t ) = x t − k L^k(x_t)=x_{t-k}Lk(xt)=xt−k
命题1.1 滞后算子满足线性性质
( 1 ) L ( β x t ) = β L ( x t ) ( 2 ) L ( x t + w t ) = L ( x t ) + L ( w t ) \begin{array}{lcl} (1)L(\beta x_t)=\beta L(x_t)\\ (2)L(x_t+w_t)=L(x_t)+L(w_t) \end{array}(1)L(βxt)=βL(xt)(2)L(xt+wt)=L(xt)+L(wt)
p r o o f : proof:proof:
( 1 ) L ( β x t ) = β x t − 1 = β L ( x t ) ( 2 ) L ( x t + w t ) = x t − 1 + w t − 1 = L ( x t ) + L ( w t ) \begin{array}{lcl} (1)L(\beta x_t)=\beta x_{t-1}=\beta L(x_t)\\ (2)L(x_t+w_t)=x_{t-1}+w_{t-1}=L(x_t)+L(w_t) \end{array}(1)L(βxt)=βxt−1=βL(xt)(2)L(xt+wt)=xt−1+wt−1=L(xt)+L(wt)
由于滞后算子具有上述运算性质和乘法的交换性质，因此可以定义滞后算子多项式，它的作用是通过它对时间序列的作用获得一个新的时间序列，并且揭示这两个时间序列之间的关系。
显然，滞后算子作用到常数时间序列上，时间序列仍然保持常数，即: L ( c ) = c L(c)=cL(c)=c。
§2.一阶差分方程
利用滞后算子，可以将前面的一阶差分方程表示成为滞后算子形式:
y t = ϕ y t − 1 + w t = ϕ L y t + w t ( 4 ) y_t=\phi y_{t-1}+w_t=\phi Ly_t+w_t\qquad(4)yt=ϕyt−1+wt=ϕLyt+wt(4)
也可以表示为：
( 1 − ϕ L y t ) = w t ( 5 ) (1-\phi Ly_t)=w_t\qquad(5)(1−ϕLyt)=wt(5)
在上述等式两边同时作用算子：( 1 + ϕ L + ϕ 2 L 2 + ⋯ + ϕ t L t ) (1+\phi L+\phi^2 L^2+\cdots+\phi^t L^t)(1+ϕL+ϕ2L2+⋯+ϕtLt)，可以得到：
( 1 + ϕ L + ϕ 2 L 2 + ⋯ + ϕ t L t ) ( 1 − ϕ L y t ) = ( 1 + ϕ L + ϕ 2 L 2 + ⋯ + ϕ t L t ) w t (1+\phi L+\phi^2 L^2+\cdots+\phi^t L^t)(1-\phi Ly_t)=(1+\phi L+\phi^2 L^2+\cdots+\phi^t L^t)w_t(1+ϕL+ϕ2L2+⋯+ϕtLt)(1−ϕLyt)=(1+ϕL+ϕ2L2+⋯+ϕtLt)wt
计算得到：
( 1 − ϕ t + 1 L t + 1 ) y t = ( 1 + ϕ L + ϕ 2 L 2 + ⋯ + ϕ t L t ) w t (1-\phi^{t+1}L^{t+1})y_t=(1+\phi L+\phi^2 L^2+\cdots+\phi^t L^t)w_t(1−ϕt+1Lt+1)yt=(1+ϕL+ϕ2L2+⋯+ϕtLt)wt
利用滞后算子性质得到：
y t − ϕ t + 1 L t + 1 y t = w t + ϕ L w t + ϕ 2 L 2 w t + ⋯ + ϕ t L t w t ⇒ y t − ϕ t + 1 y − 1 = w t + ϕ w t − 1 + ϕ 2 w t − 2 + ⋯ + ϕ t w 0 y_t-\phi^{t+1}L^{t+1}y_t=w_t+\phi Lw_t+\phi^2 L^2w_t+\cdots+\phi^t L^tw_t\\\Rightarrow y_t-\phi^{t+1}y_{-1}=w_t+\phi w_{t-1}+\phi^2 w_{t-2}+\cdots+\phi^t w_0yt−ϕt+1Lt+1yt=wt+ϕLwt+ϕ2L2wt+⋯+ϕtLtwt⇒yt−ϕt+1y−1=wt+ϕwt−1+ϕ2wt−2+⋯+ϕtw0
⇒ y t = ϕ t + 1 y − 1 + w t + ϕ w t − 1 + ϕ 2 w t − 2 + ⋯ + ϕ t w 0 ( 6 ) \Rightarrow y_t=\phi^{t+1}y_{-1}+w_t+\phi w_{t-1}+\phi^2 w_{t-2}+\cdots+\phi^t w_0 \qquad(6)⇒yt=ϕt+1y−1+wt+ϕwt−1+ϕ2wt−2+⋯+ϕtw0(6)
上述差分方程的解同利用叠代算法得到的解是一致的。
注意算子作用后的等式：
( 1 + ϕ L + ϕ 2 L 2 + ⋯ + ϕ t L t ) ( 1 − ϕ L y t ) = ( 1 − ϕ t + 1 L t + 1 ) y t (1+\phi L+\phi^2 L^2+\cdots+\phi^t L^t)(1-\phi Ly_t)=(1-\phi^{t+1}L^{t+1})y_t(1+ϕL+ϕ2L2+⋯+ϕtLt)(1−ϕLyt)=(1−ϕt+1Lt+1)yt
即：
( 1 + ϕ L + ϕ 2 L 2 + ⋯ + ϕ t L t ) ( 1 − ϕ L y t ) = y t − ϕ t + 1 y − 1 (1+\phi L+\phi^2 L^2+\cdots+\phi^t L^t)(1-\phi Ly_t)=y_t-\phi^{t+1}y_{-1}(1+ϕL+ϕ2L2+⋯+ϕtLt)(1−ϕLyt)=yt−ϕt+1y−1
如果时间序列y t y_tyt是有界的，即存在有限的常数M MM，使得任意时间均有: ∣ y t ∣ ≤ M |y_t|≤M∣yt∣≤M， 并且∣ ϕ ∣ < 1 |\phi|<1∣ϕ∣<1，则上式当中的尾项随着时间增加趋于零，从而有:
lim t → ∞ ( 1 + ϕ L + ϕ 2 L 2 + ⋯ + ϕ t L t ) ( 1 − ϕ L y t ) = y t ( 7 ) \lim_{t\to \infty}(1+\phi L+\phi^2 L^2+\cdots+\phi^t L^t)(1-\phi Ly_t)=y_t\qquad(7)t→∞lim(1+ϕL+ϕ2L2+⋯+ϕtLt)(1−ϕLyt)=yt(7)
如果利用“1”表示恒等算子，则有：
lim t → ∞ ( 1 + ϕ L + ϕ 2 L 2 + ⋯ + ϕ t L t ) ( 1 − ϕ L ) = 1 ( 8 ) \lim_{t\to \infty}(1+\phi L+\phi^2 L^2+\cdots+\phi^t L^t)(1-\phi L)=1\qquad(8)t→∞lim(1+ϕL+ϕ2L2+⋯+ϕtLt)(1−ϕL)=1(8)
记：
( 1 − ϕ L ) − 1 = lim t → ∞ ( 1 + ϕ L + ϕ 2 L 2 + ⋯ + ϕ t L t ) ( 9 ) (1-\phi L)^{-1}=\lim_{t\to \infty}(1+\phi L+\phi^2 L^2+\cdots+\phi^t L^t)\qquad(9)(1−ϕL)−1=t→∞lim(1+ϕL+ϕ2L2+⋯+ϕtLt)(9)
因此得到了“逆算子”的表达式，这类似于以滞后算子为变量的函数展开式。
定义2.1： 当∣ ϕ ∣ < 1 |\phi|<1∣ϕ∣<1时，定义算子( 1 − ϕ L ) (1-\phi L)(1−ϕL)的逆算子为( 1 − ϕ L ) − 1 (1-\phi L)^{-1}(1−ϕL)−1，它满足：
( 1 ) ( 1 − ϕ L ) ( 1 − ϕ L ) − 1 = ( 1 − ϕ L ) − 1 ( 1 − ϕ L ) = I ( 10 ) (1)(1-\phi L)(1-\phi L)^{-1}=(1-\phi L)^{-1}(1-\phi L)=I\qquad(10)(1)(1−ϕL)(1−ϕL)−1=(1−ϕL)−1(1−ϕL)=I(10)
其中I II表示单位算子，即对任意时间序列y t y_tyt有：I ( y t ) = y t I(y_t)=y_tI(yt)=yt。
(2)在形式上逆算子可以表示为：
( 1 − ϕ L ) − 1 = ∑ j = 0 ∞ ϕ j L j ( 11 ) (1-\phi L)^{-1}=\sum_{j=0}^{\infty}\phi^jL^j\qquad(11)(1−ϕL)−1=∑j=0∞ϕjLj(11)
这表示逆算子作为算子运算规则是:对于任意时间序列y t y_tyt，有:
( 1 − ϕ L ) − 1 y t = ∑ j = 0 ∞ ϕ j L j y t = ∑ j = 0 ∞ ϕ j y t − j (1-\phi L)^{-1}y_t=\sum_{j=0}^{\infty}\phi^jL^jy_t=\sum_{j=0}^{\infty}\phi^jy_{t-j}(1−ϕL)−1yt=∑j=0∞ϕjLjyt=∑j=0∞ϕjyt−j
如果时间序列y t y_tyt是有界的，则一阶差分方程的解可以表示为:
y t = w t + ϕ w t − 1 + ϕ 2 w t − 2 + ⋯ + ϕ t w 0 = ∑ j = 0 ∞ ϕ j w t − j y_t=w_t+\phi w_{t-1}+\phi^2 w_{t-2}+\cdots+\phi^t w_0=\sum_{j=0}^{\infty}\phi^jw_{t-j}yt=wt+ϕwt−1+ϕ2wt−2+⋯+ϕtw0=∑j=0∞ϕjwt−j
可以验算上述表达式确实满足一阶线性差分方程。但是解并不唯一，例如对于任意实数a 0 a_0a0，下述形式的表达式均是方程的解。
y t = a 0 ϕ t + ∑ j = 0 ∞ ϕ j w t − j y_t=a_0\phi^t+\sum_{j=0}^{\infty}\phi^jw_{t-j}yt=a0ϕt+∑j=0∞ϕjwt−j
§3.二阶差分方程
我们考察二阶差分方程的滞后算子表达式：
y t = ϕ 1 y t − 1 + ϕ 2 y t − 2 + w t y_t=\phi_1y_{t-1}+\phi_2y_{t-2}+w_tyt=ϕ1yt−1+ϕ2yt−2+wt
将其利用滞后算子表示为：
( 1 − ϕ 1 L − ϕ 2 L 2 ) = w t ( 12 ) (1-\phi_1L-\phi_2L^2)=w_t\qquad(12)(1−ϕ1L−ϕ2L2)=wt(12)
对二阶滞后算子多项式进行因式分解，即寻求λ 1 \lambda_1λ1和λ 2 \lambda_2λ2使得:
( 1 − ϕ 1 L − ϕ 2 L 2 ) = ( 1 − λ 1 L ) ( 1 − λ 2 L ) = 1 − ( λ 1 + λ 2 ) L + λ 1 λ 2 L 2 (1-\phi_1L-\phi_2L^2)=(1-\lambda_1L)(1-\lambda_2L)=1-(\lambda_1+\lambda_2)L+\lambda_1\lambda_2L^2(1−ϕ1L−ϕ2L2)=(1−λ1L)(1−λ2L)=1−(λ1+λ2)L+λ1λ2L2
即：
{ ϕ 1 = λ 1 + λ 2 ϕ 2 = − λ 1 λ 2 \begin{cases} \phi_1=\lambda_1+\lambda_2\\\phi_2=-\lambda_1\lambda_2 \end{cases}{ϕ1=λ1+λ2ϕ2=−λ1λ2
⇒ \Rightarrow⇒ λ 1 , λ 2 \lambda_1,\lambda_2λ1,λ2是差分方程对应的特征方程的根：
λ 2 − ϕ 1 λ − ϕ 2 = 0 ( 13 ) \lambda^2-\phi_1\lambda-\phi_2=0\qquad(13)λ2−ϕ1λ−ϕ2=0(13)
当特征根λ 1 , λ 2 \lambda_1,\lambda_2λ1,λ2落在单位圆内的时候(这也是差分方程的稳定性条件)，滞后算子多项式分解为：
( 1 − λ 1 L ) − 1 = 1 + λ 1 L + λ 1 2 L 2 + λ 1 3 L 3 + ⋯ ( 1 − λ 2 L ) − 1 = 1 + λ 2 L + λ 2 2 L 2 + λ 2 3 L 3 + ⋯ \begin{array}{lcl} (1-\lambda_1L)^{-1}=1+\lambda_1L+\lambda_1^2L^2+\lambda_1^3L^3+\cdots\\ (1-\lambda_2L)^{-1}=1+\lambda_2L+\lambda_2^2L^2+\lambda_2^3L^3+\cdots \end{array}(1−λ1L)−1=1+λ1L+λ12L2+λ13L3+⋯(1−λ2L)−1=1+λ2L+λ22L2+λ23L3+⋯
此时二阶差分方程解可表示为：
y t = ( 1 − λ 1 L ) − 1 ( 1 − λ 2 L ) − 1 w t y_t=(1-\lambda_1L)^{-1}(1-\lambda_2L)^{-1}w_tyt=(1−λ1L)−1(1−λ2L)−1wt
注意到算子分式也可以进行分项分式分解:
1 ( 1 − λ 1 L ) ( 1 − λ 2 L ) = 1 λ 1 − λ 2 ( λ 1 ( 1 − λ 1 L ) − λ 2 ( 1 − λ 2 L ) ) \frac{1}{(1-\lambda_1L)(1-\lambda_2L)}=\frac{1}{\lambda_1-\lambda_2}\left( \frac{\lambda_1}{(1-\lambda_1L)}- \frac{\lambda_2}{(1-\lambda_2L)}\right)(1−λ1L)(1−λ2L)1=λ1−λ21((1−λ1L)λ1−(1−λ2L)λ2)
将上述表达式带入到二阶差分方程解中:
y t = 1 λ 1 − λ 2 ( λ 1 ( 1 − λ 1 L ) − λ 2 ( 1 − λ 2 L ) ) w t = 1 λ 1 − λ 2 [ λ 1 ( 1 + λ 1 L + λ 1 2 L 2 + λ 1 3 L 3 + ⋯ ) − λ 2 ( 1 + λ 2 L + λ 2 2 L 2 + λ 2 3 L 3 + ⋯ ) ] w t = 1 λ 1 − λ 2 [ ( λ 1 − λ 2 ) + ( λ 1 2 − λ 2 2 ) L + ( λ 1 3 − λ 2 3 ) L 2 + ⋯ ] w t = ( c 1 + c 2 ) w t + ( c 1 λ 1 + c 2 λ 2 ) w t − 1 + ( c 1 λ 1 2 + c 2 λ 2 2 ) w t − 2 + ⋯ \begin{array}{lcl} y_t=\frac{1}{\lambda_1-\lambda_2}\left( \frac{\lambda_1}{(1-\lambda_1L)}- \frac{\lambda_2}{(1-\lambda_2L)}\right)w_t\\=\frac{1}{\lambda_1-\lambda_2}[\lambda_1(1+\lambda_1L+\lambda_1^2L^2+\lambda_1^3L^3+\cdots)-\lambda_2(1+\lambda_2L+\lambda_2^2L^2+\lambda_2^3L^3+\cdots)]w_t\\=\frac{1}{\lambda_1-\lambda_2}[(\lambda_1-\lambda_2)+(\lambda_1^2-\lambda_2^2)L+(\lambda_1^3-\lambda_2^3)L^2+\cdots]w_t\\=(c_1+c_2)w_t+(c_1\lambda_1+c_2\lambda_2)w_{t-1}+(c_1\lambda_1^2+c_2\lambda_2^2)w_{t-2}+\cdots \end{array}yt=λ1−λ21((1−λ1L)λ1−(1−λ2L)λ2)wt=λ1−λ21[λ1(1+λ1L+λ12L2+λ13L3+⋯)−λ2(1+λ2L+λ22L2+λ23L3+⋯)]wt=λ1−λ21[(λ1−λ2)+(λ12−λ22)L+(λ13−λ23)L2+⋯]wt=(c1+c2)wt+(c1λ1+c2λ2)wt−1+(c1λ12+c2λ22)wt−2+⋯
其中，c 1 = λ 1 λ 1 − λ 2 , c 2 = − λ 2 λ 1 − λ 2 = λ 2 λ 2 − λ 1 c_1=\frac{\lambda_1}{\lambda_1-\lambda_2},c_2=-\frac{\lambda_2}{\lambda_1-\lambda_2}=\frac{\lambda_2}{\lambda_2-\lambda_1}c1=λ1−λ2λ1,c2=−λ1−λ2λ2=λ2−λ1λ2
利用上述公式，可以得到外生扰动的动态反应乘子为:
∂ y t + j ∂ w t = c 1 λ 1 j + c 2 λ 2 j , j = 0 , 1 , 2 , . . . ( 14 ) \frac{\partial y_{t+j}}{\partial w_t}=c_1\lambda_1^j+c_2\lambda_2^j,j=0,1,2,...\qquad(14)∂wt∂yt+j=c1λ1j+c2λ2j,j=0,1,2,...(14)